Si el diferencial de una función de onda tiene un tiempo de derivada parcial?

Question

En el capítulo 1 de Griffths' QM texto, muestra que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi|^2\,\mathrm{d}x=0$ señalando

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi|^2\,\mathrm{d}x &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{i\hbar}{2m}\biggl(\bar{\Psi}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi-\Psi\frac{\partial^2}{\partial x^2}\bar{\Psi}\biggr)\mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial x}\biggl[\frac{i\hbar}{2m}\biggl(\bar{\Psi}\frac{\partial}{\partial x}\Psi-\Psi\frac{\partial}{\partial x}\bar{\Psi}\biggr)\biggr]\,\mathrm{d}x \\ &= \biggl[\frac{i\hbar}{2m}\biggl(\bar{\Psi}\frac{\partial}{\partial x}\Psi-\Psi\frac{\partial}{\partial x}\bar{\Psi}\biggr)\biggr]_{-\infty}^{\infty} \end{align}$$

Mi confusión es en el último paso. Creo que lo que está haciendo es expresar el integrando como el diferencial de $\mathrm{d}f$, donde

$$f=\frac{i\hbar}{2m}\biggl(\bar{\Psi}\frac{\partial}{\partial x}\Psi-\Psi\frac{\partial}{\partial x}\bar{\Psi}\biggr).$$

Pero no es $f$ una función de $x$$t$, con lo que el diferencial de $\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d}t$, en lugar de sólo $\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x$ Griffths tiene?

Answer 1

Las integrales con $dx$ son parciales, integrales; $t$ se supone constante en el interior de ellos. Se podría argumentar que por analogía con la diferenciación parcial que debe ser escrito con $\partial x$ en lugar de $dx$ pero en la historia que no es la forma en que está escrito. Así que, básicamente, el anti diferenciación realizada por la integral consiste en la inversión de un $\partial/\partial x$, no $d/dx$ operación, y usted no necesita tomar $t$ en cuenta.