Números no analíticos

Question

Sabemos que algunos números reales (en realidad, la mayoría) no son algebraicos y la prueba de este hecho es hermosa: los números algebraicos, como los polinomios con coeficientes enteros, son contables, al contrario que $\mathbb R$ Por lo tanto, debe haber algunos números no algebraicos.

Me preguntaba si algún número real $\alpha$ es "analítica", en el sentido de que existe una serie de potencias $\displaystyle{ \sum_{n\geq 0} a_n(x-a)^n }$ de radio positivo, con $a_n\in{\mathbb Q}$ y $a_n\in{\mathbb Q}$ para cualquier $n\geq 0$ , de tal manera que $\alpha$ es una raíz de $\displaystyle{ \sum_{n\geq 0} a_n(x-a)^n }$ .

Por supuesto, la prueba anterior para números no algebraicos no funciona, ya que las series de potencias son incontables, pero me sorprendería que la respuesta fuera negativa. En ese caso, ¿hay algún ejemplo sencillo y cambia algo si consideramos series de Laurent en lugar de series de potencias?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $|\alpha| < 1$ .

Podemos construir la serie de Taylor deseada

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n $$

como sigue. Sea $f_k(x)$ sea el polinomio

$$ f_k(x) = \sum_{n=0}^{k} a_n x^n $$

• Elija $a_0$ para que $0 < a_0 < \alpha$
• Elija $a_k$ para que $|f_{k-1}(\alpha) + a_k \alpha^k| < \alpha^{k+1} $ y $|a_k| < 1$ .

El radio de convergencia de la serie resultante será como mínimo $1$ y como $|f_k(\alpha)| < \alpha^{k+1}$ tenemos $f(\alpha) = 0$ .

Answer 2

Añado mi propia respuesta, aunque prefiero la de Hurkyl:

Tomando la expansión decimal de $\alpha$ existe una serie de potencias $\displaystyle{f(x)=\sum_{n\geqslant 0}a_nx^n}$ y $a_0\in\mathbb N$ y $a_k\in\{0,1,\dots,9\}$ para $k\geqslant 1$ (por tanto, con un radio mínimo de $1$ ) tal que $\alpha=f(\frac{1}{10})$ .

Tenemos $\displaystyle{f'(\frac{1}{10})=\sum_{n\geqslant 1}n\frac{a_n}{10^{n-1}}>0}$ . Por el teorema de la función inversa, existe una función analítica $g$ definido en una vecindad de $\alpha$ tal que $g(\alpha)=\frac{1}{10}$ y $g$ es la inversa de $f$ (en un dominio suficientemente pequeño).

Desde $g$ se satisface, $g\circ f(x)=x$ no es difícil comprobar que $g$ tiene también coeficientes racionales. Así que $g-\frac{1}{10}$ es la función que buscamos.