¿Método limpio para mostrar que $\mathbb{Q}(2^{1/3}) \ne \mathbb{Q}(3^{1/3}) $?

Question

Me estoy preguntando cómo mostrar buscando obvias $\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}}) \ne \mathbb{Q}(3^{\frac{1}{3}}) $?

Esta pregunta ha aparecido para calcular el orden de $\text{Gal}(\mathbb{Q}(2^{\frac{1}{3}},3^{\frac{1}{3}},\xi_3)/\mathbb{Q})$ donde $\xi_3$ es una raíz primitiva de la unidad.

Ya sé para mostrar esto por la fuerza brutal por assumimg $2^{\frac{1}{3}}=a+b\cdot2^{\frac{1}{3}}+c\cdot 2^{\frac{2}{3}}$ algunos $a,b,c\in \mathbb{Q}$ y el 3 ° de alimentación en ambos lados y comparar sus coeficientes. Pero su demasiado aburrido.

Es allí cualquier limpio método?

Answer 1

Podemos argumentar utilizando el campo de la traza. Considere la posibilidad de $ K = \mathbb{Q}(2^{1/3}) $ $ L = \mathbb{Q}(2^{1/3}, \zeta_3) $ donde $ \zeta_3 $ es una primitiva de la tercera raíz de la unidad. $ L $ es normal en el cierre de $ K $. Ahora, supongamos que tuvimos $ 3^{1/3} \in K $, entonces tendríamos

$$ 3^{1/3} = c_0 + c_1 2^{1/3} + c_2 2^{2/3} $$

para algunos $ c_k \in \mathbb{Q} $. Deje $ T = \textrm{Tr}_{L/\mathbb{Q}} $ denotar el campo de la traza, que se define por

$$ T(x) = \sum_{\sigma \in \textrm{Gal}(L/\mathbb{Q})} \sigma(x) $$

Las propiedades de $ T(cx) = c T(x) $ racional, $ c $ $ T(x) = 0 $ fib $ x = 0 $ racional, $ x $ son evidentes. Ahora, tenga en cuenta que la aplicación de $ T $ a ambos lados de la relación de los rendimientos de $ c_0 = 0 $. Multiplicar ambos lados por $ 2^{1/3} $ para obtener

$$ 6^{1/3} = c_1 2^{2/3} + 2c_2 $$

y aplicar el campo de seguimiento a ambos lados de nuevo para obtener $ c_2 = 0 $. Estos resultados implican que debemos tener $ (3/2)^{1/3} \in \mathbb{Q} $; imposible. Por lo tanto, $ 3^{1/3} \notin K $, después de todo.

Answer 2

Aritmética de herramientas (ramificación, $p$-adics...), seguramente hacer el trabajo, pero de una forma más "directa" teoría de Galois argumento sería más en el espíritu de la pregunta. La introducción de $\zeta_3$ obviamente alude a Kummer teoría por encima de $K = \mathbf Q (\zeta_3)$ . La hipótesis de $\mathbf Q(\sqrt[3] {2}) = \mathbf Q (\sqrt[3] {3})$ implicaría $K(\sqrt[3] {2}) = K(\sqrt[3] {3})$, por lo tanto, por Kummer teoría, $2 = 3. x^3$,$x \in K^*$. La aportación abajo de $K$ $\mathbf Q$daría $4 = 9. y^3$,$y \in \mathbf Q^*$, lo cual evidentemente contradice el factoriality de $\mathbf Z$ .

NB : El paso final es equivalente a $({2/3})^{2/3}\notin \mathbf Q$ , que a su vez, porque 2 es invertible mod 3, es equivalente a la conclusión de $({2/3})^{1/3}\notin \mathbf Q$ obtenido por @lluvia de estrellas. Pero el uso de la norma en lugar de la traza para lidiar con la estructura multiplicativa era más fácil porque más natural.