Euler ' φ función de 18 - phi(18)

Question

Estoy tratando de encontrar el phi(18). Usando una Calculadora online, me dice que es 6 pero im que consigue cuatro.
El método que estoy usando es romper 18 en números primos y luego multiplicando el phi(primes)

$$=\varphi (18)$$ $$=\varphi (3) \cdot \varphi(3) \cdot \varphi(2)$$ $$= 2 \cdot 2 \cdot 1$$ $$= 4$$

Answer 1

Recuerde que usted necesita determinar la facturización primera de $18$. Es decir, $18 = 3^2 \cdot 2$. Desde $18 = 3^2 \cdot 2$, tenemos

$$\begin{aligned} \varphi(18) = \varphi(3^2) \cdot \varphi(2) &= (3^2 - 3)(2 - 1) = 6 \end{alineados} $$

En general, si $k = p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_s^{n_s}$, entonces tiene

$$\varphi(k) = \varphi(p_1^{n_1})\varphi(p_2^{n_2})\cdots \varphi(p_s^{n_s}) = (p_1^{n_1} - p_1^{n_1 - 1})(p_2^{n_2} - p_2^{n_2 - 1})\cdots (p_s^{n_s} - p_s^{n_s - 1})$$

Answer 2

Su multiplicativo de la propiedad no es necesariamente cierto cuando los dos números que estás multiplicando comparten un factor común. Aquí está la fórmula general: dado $N = p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_n^{q_n}$ (donde $p_1, \ldots, p_n$ son distintos de los números primos), podemos encontrar que $$ \phi(N) = N\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{p_n}\right) $$

En el caso de $18 = 2 \cdot 3^2$, esto nos da: $$ \phi(18) = 18\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right) = 6 $$ Os dejo la prueba de esto como un ejercicio (sugerencia: considerar (y enumerar) los números divisibles por $p_1, p_2, \ldots, p_n$).

Answer 3

Por definición, $\varphi(18)$ es el número de elementos en el conjunto de $$\{n : 1\leq n \leq 17, \text{ with } \gcd(n,18)=1\}=\{1,5,7,11,13,17\}.$ $, $\varphi(18)=6$. Del mismo modo, $\varphi(9)$ es el número de elementos en el conjunto de $$\{n : 1\leq n \leq 8, \text{ with } \gcd(n,9)=1\}=\{1,2,4,5,7,8\},$ $ % que $\varphi(9)=6$y no $4$.