LÍMITE DE USO

Question

$$\lim _{x\to \infty }\frac{1}{x}\int _0^x\:\frac{dt}{2+\cos t}$$

¿Puede alguien explicarme si es un límite del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ o no y por qué? Me consideró una, aplicado a L'Hospital y me $\cos\infty$, que significa que el límite no existe, pero la respuesta es $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Answer 1

$f(t)=\frac{1}{2+\cos(t)}$ es positiva, limitada y $2\pi$-función periódica. Se deduce que el valor medio de $f$, es decir, el límite deseado, es igual al valor promedio de $f$ sobre un período:

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{dt}{2+\cos t} = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{2+\cos t} = I $ $ y a través de la sustitución $t\mapsto 2t$ tenemos: %#% $ de #% entonces por la configuración de $$ I = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{dt}{1+2\cos^2(t)}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\frac{dt}{1+2\cos^2(t)} $: $t=\arctan(u)$ $