Esta construcción puede no ser el más natural (o general), pero me parece razonablemente esclarecedor.
Deje $\mathcal F$ $\mathcal C$ denotar las categorías con un objeto asociado a$G$$H$, respectivamente. Observe que si $\mathcal F'$ es cualquier categoría equivalente a $\mathcal F$, luego, en particular, se admite totalmente fieles functor a $\mathcal F$. Desde $\mathcal F$ tiene un solo objeto, con isomorphisms en bijection con $G$, esto implica que todos los hom-en $\mathcal F'$ debe ser en bijection con $G$. Es fácil comprobar que todos los morfismos en $\mathcal F'$ debe ser un isomorfismo, entonces esto demuestra que $\mathcal F'$ es un groupoid, con exactamente $|G|$ isomorphisms entre dos objetos.
Yo reclamo que podemos elegir $\mathcal F'$ tener objetos indexados por $H$. Para ser explícitos, digamos que los morfismos entre dos objetos $h_1, h_2$ se identifican con $G$, y que la composición de $g_1: h_1 \to h_2$$g_2: h_2 \to h_3$$g_1 g_2: h_1 \to h_3$. A continuación, este admite natural de "proyección" functor a $\mathcal F$, mediante el envío de cada objeto con el único objeto de $*$ $\mathcal F$ y el envío de cada uno de los morfismos a los morfismos del mismo nombre. Tenemos un functor en la otra dirección mediante el envío de $*$ a los objetos etiquetados por la identidad de $H$, y la preservación de los nombres de morfismos. La composición de la $\mathcal F \to \mathcal F' \to \mathcal F$ es, literalmente, la identidad functor, y $\mathcal F' \to \mathcal F \to \mathcal F'$ se ve fácilmente que es naturalmente isomorfo al functor identidad a través de una base de la preservación de la transformación natural. Por lo $\mathcal F'$ $\mathcal F$ son equivalentes fibrado las categorías $\mathcal C$.
Ahora vamos a construir un fraccionamiento de $\mathcal F' \to \mathcal C$. Fijar un representante de $\widetilde h \in G$ por cada elemento de a $h \in H$. Considerar la subcategoría de $\mathcal F'$ que incluye todos los objetos, pero sólo los morfismos de la forma $\widetilde h_1 \widetilde h_2^{-1}: h_1 \to h_2$. (Tenga en cuenta que este contiene las identidades y las composiciones.) Para cualquier morfismos $h$ $\mathcal C$ y cualquier objeto $h_2 \in \mathcal F'$, nuestro elegido subcategoría contiene un único pullback $h_1 \to h_2$$h$, es decir, los morfismos $\widetilde h_1 \widetilde h_2^{-1}: h_1 \to h_2$ $h_1$ elige de modo que $h_1 h_2^{-1} = h$.
Para concretar más, echemos un vistazo a la más simple posible, no split grupo de extensión: $\mathbb Z/4\mathbb Z \twoheadrightarrow \mathbb Z/2\mathbb Z$. Aquí, la categoría de $\mathcal F'$ tiene dos objetos, con cuatro morfismos entre cualquier par, todos ellos isomorphisms. Esta categoría merece ser equivalente a $\mathcal F$: tiene dos objetos, que ambos se ven exactamente igual que el objeto de $\mathcal F$ y son isomorfos a cada uno de los otros. Hacer $\mathcal F'$ en un fibrado categoría de más de $\mathcal C$ mediante la composición de la "proyección" functor a $\mathcal F$ con el functor $\mathcal F \to \mathcal C$. Recordemos que no podemos construir un fraccionamiento de la original fibrado categoría $\mathcal F \to \mathcal C$ precisamente porque tendríamos que elegir un ascensor de los de morfismos $1 \in \mathbb Z/2\mathbb Z$$\mathbb Z/4\mathbb Z$, y ninguna de las dos opciones te da algo que respete la composición. Pero, en nuestra nueva fibrado categoría $\mathcal F'$, tenemos que elegir un ascensor de $1 \in \mathbb Z/2\mathbb Z$ a algunos de morfismos entre los dos objetos de $\mathcal F'$, en lugar de un automorphism de uno de los objetos. Así que no necesita preocuparse acerca de componer el ascensor con ella misma, y se evita el problema.
