¿Por qué es diferente a hacer una elección o muchas opciones de hacer opciones infinitas, desde un punto de vista teórico en el que, de hecho, usted no va a hacer ningún?
Cómo podría ser diferente de hacer infinito adiciones por ejemplo,$\sum_{i=0}^{+\infty}A_n$.
Muchas gracias.
Hacer una elección es simple, si un conjunto $A$ no está vacío, entonces $\exists a(a\in A)$, y por lo tanto podemos elegir tal $a$. Esto se denomina instanciación existencial. Pero esta elección es completamente arbitraria. Esto es importante porque en matemáticas estamos siempre dentro del contexto de la escritura de una prueba (incluso si sólo jugar, que esencialmente prepararnos para dicha prueba).
Sin embargo haciendo infinitamente muchos arbitrarias decisiones es algo que no podemos probar, a ser posible1. El axioma de elección afirma que podemos, de hecho, muchos infinidad de opciones a la vez - como podríamos hacer cada uno (es decir, los conjuntos no vacíos).
Recuerde que arbitraria de conjuntos no tienen absolutamente ninguna estructura. Sólo tenemos $\in$ en nuestro idioma, y tenemos los conjuntos y sus elementos. A veces tenemos suerte y los elementos del conjunto son lo suficientemente amable como para permitir una definibles por el camino de la elección de ellos. Por ejemplo, si el conjunto vacío es un miembro o algo.
Pero esto no tiene que ser el caso. El axioma de elección nos permite de manera uniforme dotar a todos los conjuntos con una estructura particular a partir de la cual podemos definir una selección.
En comparación, la suma de un número infinito de números reales que sucede dentro de una completa ordenó campo, donde tenemos algún tipo de estructura, y la utilizamos para establecer un criterio cuando la suma es finita, y si es así ¿cuál es su valor.
Notas a pie de página:
Estoy siendo deliberadamente imprecisa aquí. El axioma de elección es más que una generalización existencial de la creación de instancias para el caso infinito. Pero la intuición de que debe guiar a usted, en mi opinión, es que.
Para dar una pequeña muestra de por qué las cosas se puede romper, si estamos trabajando dentro de un universo que tiene un no-estándar enteros entonces no sería un producto que es finito (desde el punto de vista de que el modelo) y por lo tanto no está vacío, sino desde su conjunto de índices es un entero no podemos posible escribir una fórmula que crear una instancia de un elemento de cada conjunto.
Pero todo esto requiere primero entender lo que hace internos y externos decir en estos contextos, y para entender lo que no son estándar enteros y no estándar de los modelos mejor. Así que es todo muy lejos a lo largo de la carretera. Es mi firme creencia de que uno debe comenzar con la idea de que el axioma de elección es de hecho una especie de generalización existencial de la creación de instancias y, a continuación, aprender por qué no lo es.
El axioma de elección puede ser visto como una generalización del principio de inducción. Por eso, desde el principio de inducción es técnicamente mucho más sencillo, vamos a preguntar ¿por qué hay una necesidad de aceptar el principio de la inducción.
El principio de inducción, para los efectos de esta respuesta, se dice que por una propiedad $P(n)$ acerca de un número natural $n$ si $P(0)$ mantiene y si $P(n)$ sostiene, a continuación, $P(n+1)$ sostiene, entonces, en el hecho de $P(n)$ tiene para todos los números naturales $n$.
Este principio parece bastante obvio (al igual que el axioma de elección (en al menos una de sus formas), parece obvio), así que ¿por qué el alboroto, llamando a un principio? Bien, primero vamos a estar de acuerdo que cualquier prueba debe ser una lista limitada de caracteres. Ahora, ¿cómo hace uno para argumentar para convencer al escéptico acerca de la validez del principio de inducción? Es una manera de decir, bueno supongamos que queremos demostrar que $P(1)$ mantiene. Entonces aquí es un finito (!) prueba: $P(0)$ es conocido. También se sabe que $P(0)\implies P(1)$, por lo tanto Modus Ponens nos dice que $P(1)$ mantiene. QED.
Por supuesto, esto está lejos de demostrar $\forall n\in \mathbb N \quad P(n)$. Así vamos. Supongamos que queremos establecer la $P(2)$. Bueno, aquí es un finito (!) prueba: $P(1)$ ya estaba establecido (es decir, cortar y pegar prvious finito (!) prueba aquí), y es que el $P(1)\implies P(2)$. Por lo tanto, el Modus Ponens de nuevo, nos da ese $P(2)$ mantiene. QED.
Generalmente uno termina con las no tan convincente argumento del "y así sucesivamente", para luego argumentar que en realidad nos establecido $\forall n\in \mathbb N \quad P(n)$. Bien, aquí está el problema entonces. No hemos demostrar que! Lo que hizo fue darle una mano-ondulado argumento de que las dos afirmaciones 1) $P(0)$ mantiene y 2) $P(n)\implies P(n+1)$ sostiene, son suficientes para convencer a uno de que uno tiene una receta para que prueben $P(n)$ todos los $n\in \mathbb N$. En otras palabras, uno parece estar convencido de que, para cualquier $n$, uno puede encontrar un finito (!) la prueba de que $P(n)$ mantiene. Pero, ¿ ahora tenemos una sola finito prueba de que $\forall n\in \mathbb N\quad P(n)$ ? Bien, la respuesta sería sí si acepta la receta para pruebas como una prueba real. En otras palabras, si se acepta el principio de inducción.
Así que, aceptando el principio de la inducción puede decirse que la aceptación de un número finito de receta finito de pruebas para $P(n)$ (donde la longitud de la prueba de $P(n)$ depende de $n$, y normalmente tienden a infinito con $n$) como una sola finito prueba de todos los $P(n)$ en una sola vez. Me parece muy razonable para aceptar una prueba de la receta de como una prueba, por lo que el principio de inducción es puesta en duda por muy pocos.
Ahora, el principio de inducción es equivalente a la existencia de al menos un elemento en cualquier subconjunto finito de $\mathbb N$, es decir, a $\mathbb N$ ser bien ordenado. El axioma de elección, es equivalente a la existencia de un buen orden en cualquier no-conjunto finito. Por lo que el axioma de elección permite más intrincado recetas de pruebas y ya no es tan fácilmente aceptado.
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