Separadores en la categoría de grupos

Question

Algunos de mis amigos y yo estábamos tratando de descubrir una propiedad de mapeo universal que caracteriza a los enteros $\mathbb{Z}$ en la categoría de grupos sin referirse a los conjuntos subyacentes (Así que es un no decir que es el grupo libre sobre un conjunto de un elemento). Uno de los grandes usos de $\mathbb{Z}$ es que es un separador, es decir, para cualquier par de flechas paralelas distintas $f,g:A \rightarrow B$ hay al menos un morfismo $x:\mathbb{Z} \rightarrow A$ tal que $f\circ x \neq g\circ x$ . Por desgracia, cualquier grupo libre satisface esta propiedad. Tengo dos preguntas:

Cuáles son los separadores en la categoría de grupos (creo que serán sólo los grupos libres, pero aún no lo he probado). Dado esto creo que puedo escribir una propiedad universal para Z que se mantiene dentro de la categoría de grupos.

Sea o no correcta la afirmación anterior, ¿alguien tiene una UMP que haga el trabajo?

Answer 1

En la categoría de teoría existe la noción de un conjunto $\mathcal S$ de los generadores para una categoría $\mathcal C$. La propiedad definitoria es que para cualquier morfismos $f,g:A \to B$ en $\mathcal C$ $f=g$ si y sólo $fa=ga$ para todos los morfismos $a:S \to A$ todos los $S \in \mathcal S$.

Así, para un conjunto de generadores de morfismos con el mismo dominio y codominio en $\mathcal C$ se pueden distinguir por los morfismos de los elementos de la $\mathcal S$.

Una forma más sutil de la propiedad, que es especialmente relevante para algebraica de las categorías es el de la densidad. Un pequeño subcategoría $D$ $\mathcal C$ es denso en $\mathcal C$ de para los objetos $A,B$ $\mathcal C$ la función natural

$$\mathcal C(A,B) \to Nat_D(\mathcal C(-,A), \mathcal C(-,B))$$

que se asigna a una de morfismos $f$ la transformación natural de functors $D\to \mathcal C$ que envía a $\mathcal C(-,A) \to \mathcal C(-,B)$ por la composición. Intuitivamente, esto nos dice que morfismos $A \to B$ puede ser recuperado de morfismos de objetos de $D$.

Una densa subcategoría de la categoría de grupos es la que genera el libre grupos 1 y 2 elementos.

Para una discusión más detallada, véase un artículo por Vaughan Pratt http://boole.stanford.edu/pub/yon.pdf.

Answer 2

Es la mínima separador en el sentido de que corepresents el olvido functor Grp $\rightarrow$ Set, pero este utiliza conjuntos, así que probablemente no es lo que usted está después. De hecho es la misma que la declaración que $\mathbb{Z}$ es el grupo en un generador.

Answer 3

Deje $H$ ser de cualquier grupo y que $G$ el producto directo de $\mathbb{Z}$$H$. Mediante el envío de todos los elementos de a $H$ a la identidad, se puede ver que $G$ es también un separador. Es fácil construir muchos más ejemplos a lo largo de estas líneas (cualquier grupo con $\mathbb{Z}$ como un cociente va a hacer, para empezar).

Answer 4

Según su definición, los separadores serán exactamente los grupos de $G$ con un surjection a $\mathbb{Z}$. Una dirección: si $f(x)\neq g(x)$, luego tome la composición de la $G \twoheadrightarrow \mathbb{Z} \rightarrow A$ donde el último mapa envía el generador de $\mathbb{Z}$$x$. En el otro sentido, para distinguirlo de los mapas de $f,g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ definido por $f(x)=x$$g(x)=2x$, el separador debe surject a $\mathbb{Z}$.

Esta es una enorme clase de grupos que no tiene especialmente buena descripción más allá de la definición, por lo que yo sé.

Answer 5

Un grupo de surjects en $\mathbb{Z}$ si y sólo si su abelianization tensored con los racionales es no trivial.