¿Podemos nosotros resolver explícitamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula en un campo magnético uniforme?

Question

FINALMENTE para nonrelativistic partícula cargada en un campo electromagnético es

$$\frac{1}{2m}\left(\nabla S - q\mathbf{A}\right)^2 + q\phi + \frac{\partial S}{\partial t} = 0.$$

Para un campo magnético uniforme $\mathbf{B} = B_0 \hat{\mathbf{z}}$ y una elección particular de calibre esto se convierte en algo así como:

$$\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial y} - qB_0 x\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2 = -2m \frac{\partial S}{\partial t}.$$

Podemos resolver esto de forma explícita? A mí me parece que podemos empezar por separar las variables $t, z$ dejando $S = f(x, y) + p_z z - Et$, dando

$$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y} - qB_0 x\right)^2 = 2mE - p_z^2,$$

pero soy muy malo en la resolución de ecuaciones diferenciales, así que no sé cómo proceder. Yo también no tienen la intuición por lo que la solución de $S$ se supone que se parecen, aunque ya sé cómo una partícula se mueve en un campo magnético uniforme, por lo que no tengo ninguna idea de cómo adivinar un formulario para $S$.

Answer 1

Sugerencias:

1. Ya que no hay tiempo explícito de la dependencia en la Landau problema, podemos utilizar la función característica de Hamilton $W$ más que Hamilton principal función de $$\tag{1} S~=~W - Et.$$ Así $$\tag{2} \left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial W}{\partial y} - qB_0 x\right)^2 + \left(\frac{\partial W}{\partial z}\right)^2 = 2m E .$$

2. Las dos variables $y$ $z$ son cíclicos de las variables, de modo que la correspondiente momenta $p_y$ $p_z$ se conservan, y Hamilton función característica se convierte en $$\tag{3}W(x,y,z)~=~ w(x) +p_y y +p_z z.$$ Mus primer orden de la PDE (2) se reduce a una de primer orden de la educación a distancia $$\tag{4} \left(\frac{dw}{d x}\right)^2 + \left(p_y - qB_0 x\right)^2 + p_z^2 = 2m E ,$$ que tiene un conocido solución explícita.

Answer 2

1) Siga el procedimiento del párrafo $3.3$ (de Una Partícula Cargada en un Campo Magnético) de la página de $77$ de este papel, por la especialización de su caso con $k=\lambda=0$, por lo que el $y=r$

2) finalmente Se obtiene la fórmula $(46)$ en la parte superior de la página $80$, y usted puede tomar:

$S = f(y)+ \gamma\theta - \alpha t$

Así, tenemos una ecuación diferencial para $f$, y usted puede obtener el resultado, de W. A. por ejemplo : aquí

Nota : El ejemplo es dado en $2$ dimensiones, por lo que con $3$ dimensiones, usted puede simplemente tomar $p_z$= Cte y $\alpha \to \alpha - \dfrac{p_z^2}{2m}$