Regla de la cadena para funciones de más de dos, fórmula general.

Question

¿Para una composición de funciones de $k$, $F(x) = f_1 \circ f_2 \circ \dots \circ f_k(x)$, (no estoy seguro si es la correcta notación para la composición de la función de más de dos funciones), hay una fórmula general para encontrar $F'(x)$?

Answer 1

Set $f_{k+1}(x)=x$ $$F'(x)=\prod\limits_{i=1}^{k}f'_i(f_{i+1} \circ f_{i+2} \circ \dots \circ f_k(x))$$

Answer 2

Yo siempre resulta más fácil pensar en la regla de la cadena utilizando Leibniz-estilo de notación. En este estilo, los dos habituales paso de la versión de la regla de la cadena es esta:

$$ \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}u}\cdot\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x} $$

Ahora, si $v$ es un paso intermedio entre el$y$$u$, entonces también tenemos esto:

$$ \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}u}=\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}v}\cdot\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}u} $$

Poner los dos juntos: $$ \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}v}\cdot\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}u}\cdot\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x} $$

Como un ejemplo, supongamos que queremos encontrar a $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$ donde $$y=\sqrt{\sin(2x+1)}$$

Entonces podemos poner $u=2x+1$$y=\sqrt{\sin(u)}$. Es fácil encontrar a $\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}$, pero $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}u}$ requiere de otra aplicación de la regla de la cadena. Poner $v=\sin(u)$, de modo que $y=\sqrt{v}$. Ahora todo es fácil:

\begin{eqnarray} \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} & = & \frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}v}\cdot\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}u}\cdot\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x} \\ & = & \frac{1}{2\sqrt{v}}\cdot \cos(u) \cdot 2 \\ & = & \frac{\cos(2x+1)}{\sqrt{\sin(u)}} \\ & = & \frac{\cos(2x+1)}{\sqrt{\sin(2x+1)}} \end{eqnarray}

Answer 3

Esto no es bastante una respuesta a la pregunta, pero tal vez algo vale.

Supongamos que $f(0) = 0$ y $f$ es dos veces diferenciable en una vecindad de 0. Entonces $$ (\ \underbrace{f \circ \cdots \circ f} _n\)'' (0) = f'' (0) \left (f'(0) ^ {n-1} + f'(0) ^ n + \cdots + f'(0) ^ {2n-2} \right) \text {para} n \ge 1. $$

Encontré este $\ldots\ldots$ en $\ldots\ldots$ y espero que pueda ser probada por inducción en $n$.

Answer 4

Se puede calcular de forma recursiva: regla de la cadena (Wikipedia)

Para tomar el derivado de un compuesto de más de dos funciones, observe que el compuesto de f, g y h (en ese orden) es la compuesta de f con g ∘ h.

E.g.: $(f \circ g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))\cdot (g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a).$

Answer 5

Puede agrupar los últimos $k - 1$ funciones y el uso de la regla de la cadena en el que para conseguir $$ (f_1 \circ (f_2 \circ \dotsb \circ f_k))'(x) = {f_1}'((f_2 \circ \dotsb \circ f_k)(x)) \cdot (f_2 \circ \dotsb \circ f_k)'(x) $$ Ahora puede repetir el proceso para $(f_2 \circ \dotsb \circ f_k)'(x)$ para obtener $$ (f_2 \circ \dotsb \circ f_k)'(x) = {f_2}'((f_3 \circ \dotsb \circ f_k)(x)) \cdot (f_3 \circ \dotsb \circ f_k)'(x) $$ y por lo tanto $$ (f_1 \circ (f_2 \circ \dotsb \circ f_k))'(x) = {f_1}'((f_2 \circ \dotsb \circ f_k)(x)) \cdot {f_2}'((f_3 \circ \dotsb \circ f_k)(x)) \cdot (f_3 \circ \dotsb \circ f_k)'(x). $$ Podemos seguir repitiendo este proceso hasta llegar al final, cuando llegamos a la fórmula dada por Yangzhe Lau. Usted puede hacer esto más rigurosa mediante la prueba por inducción.