demostrar que $2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+8^n-8^{n-2}$ es un múltiplo de 7

Question

Demostrar que un número $2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+8^n-8^{n-2}$ es un múltiplo de 7 para cada natural $n\ge2$. No sé cómo empezar.

Answer 1

Usted puede como factor

$$2^{n-2}(2^2+2+1)+8^{n-2}(64-1).$$

Answer 2

Esto es relativamente fácil de resolver, incluso sin darse cuenta de que algunas inteligente de la factorización, simplemente por el control de varias posibles casos.

Basta comprobar lo que son el resto de poderes de $2$ modulo $7$.

Se puede ver que:
$2^0 \equiv 1 \pmod 7$
$2^1 \equiv 2 \pmod 7$
$2^2 \equiv 4 \pmod 7$
$2^3 \equiv 1 \pmod 7$
$2^4 \equiv 2 \pmod 7$
$2^5 \equiv 4 \pmod 7$
Vamos a ver, que esto se repite con el período de $3$. Tenemos que $2^k\equiv 1\pmod 7$ si $k$ es múltiplo de $3$, $2^k\equiv 2\pmod7$ si el resto del modulo $3$ $1$ $2^k\equiv 4\pmod 7$ en el caso restante.

Veamos el caso de $n=3k+1$.
A continuación, obtenemos
$2^n = 2^{3k+1} \equiv 2 \pmod 7$
$2^{n-1} = 2^{3k} \equiv 1 \pmod 7$
$2^{n-2} = 2^{3(k-1)+1} \equiv 4 \pmod 7$
$8^n=2^{3n} \equiv 1 \pmod 7$
$8^{n-2} = 2^{3(n-2)} \equiv 1 \pmod 7$
(De hecho, por los poderes de la $8$ es más fácil notar que $8^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod 7$.)

Sumando los de arriba congruencias tenemos
$2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+8^n - 8^{n-2} \equiv 2+1+4+1-1 \equiv 7 \equiv 0 \pmod 7$.

Os dejo resto de los casos se $n=3k$$n=3k+2$. (Y, como habéis visto en otra respuesta, si usted piensa acerca de esto un poco, usted debería ser capaz de llegar a una solución en la que no es necesario probar varios casos).

Answer 3

El caso base es cierto, $T_0=4+2+1+64-8=63$ es un múltiplo de $7$.

Ahora nos relaciona $T_{n+1}$ $T_n$:

$$T_{n+1}=2.2^n+2.2^{n-1}+2.2^{n-2}+8.8^n-8.8^{n-2}.$$

Restando el $T_n$, tenemos

$$T_{n+1}-T_n=2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+7.8^n-7.8^{n-2}.$$

Podemos descartar los dos últimos términos, obviamente múltiplos de $7$. Queda por demostrar que $2^n+2^{n-1}+2^{n-2}$ es un múltiplo de $7$.

El caso base es verdad $U_0=4+2+1=7$.

Ahora nos relaciona $U_{n+1}$ $U_n$:

$$U_{n+1}=2.2^n+2.2^{n-1}+2.2^{n-2}=2.U_n.$ $ $U_n$ Es un múltiplo de $7$, así que es $U_{n+1}$.