El lugar geométrico de los números complejos $z$ restringido $(z+1-i)/(z-1-i)$

Question

Problema

Describir el lugar geométrico de los puntos siguientes en el Argand'diagrama:

$$\left|\frac{(z+1-i)}{(z-1-i)}\right| = 1$$ y

$$\mathrm{arg}\left[\frac{(z+1+i)}{(z-1-i)}\right] = \pm \frac{\pi}{2}.$$

El progreso

He intentado poner $z = x+iy $, a continuación, racionalizando el denominador multiplicando por el conjugado que me dio algunos números, pero no estoy seguro de qué hacer con ellos.

Realmente me gustaría un poco de ayuda en estas 2 preguntas, todas las respuestas muy apreciada!

Answer 1

para responder a la segunda $$arg\left({z + 1 + i \over z - 1 -i} \right) = \pm {\pi \over 2}$$ is a circle with diameter $1+i-1-i.$

aquí es cómo usted puede ver esto: vamos a $${z + 1 + i \over z - 1 -i} = ki \text{ where $k$ is a real number}$$ usted puede paloma para $z$ y obtener $a$z = {-ki +k - 1 -i\más de 1 -ki} = {[k-1 -i(k+1)] \más de 1 - ik} = {[k-1 -i(k+1)](1 + ik) \más de 1 + k^2} \\= {k-1 + k(k+1) + i[k(k-1)-(k+1)] \más de 1 + k^2} = {k^2+ 2k - 1 + i(k^2 - 2k - 1) \más de 1 + k^2}$$

si $z = x = iy,$ $$x = {k^2 - 1 + 2k \over k^2 + 1}, y = {k^2 - 1 - 2k \over k^2 + 1} $$ which gives $$x^2 + y^2 = { 2(k^2 - 1)^2 + 8^2 \(k^2 + 1)^2} = { 2(k^2 + 1)^2 \(k^2 + 1)^2} = 2$$ como se afirma en el principio.

si usted mira la geometría del problema, se dice que el ángulo subtendido por el punto de $z$ por los puntos de $\pm(1+i)$ $90^\circ$ que es la circunferencia de un círculo. derivar es algebraicamente tuve que ir a través de todos los problemas.

Answer 2

La primera es decir que la distancia entre el $z$ $1 + i$ es la misma que la distancia entre el$z$$1 - i$. El conjunto de puntos equidistantes de dos puntos es la línea que divide en dos partes iguales el segmento de línea que une los dos puntos. Por lo tanto, el lugar geométrico es la línea de $y = 0$.

El segundo, es decir si se mira en el punto de $P$ dado por traducir $z$ 1 arriba y 1 a la derecha y el punto de $Q$ $z$ traducido 1 abajo y 1 a la izquierda, el ángulo entre el $P$ $Q$ (con respecto al origen) es $\pi/2$. Intuitivamente, esto me parece ser la línea de $y = x$, aunque no he comprobado rigurosamente.

Answer 3

$$\left|\frac{(z+1-i)}{(z-1-i)}\right| = 1$$ $$\left|\ (z+1-i)\right| = |(z-1-i)|$$ poner z=x+iy $$\left|\ (x+iy+1-i)\right| = |(x+iy-1-i)|$$ $$\left|\ (x+1)+i(y-1)\right| = |(x-1)+i(y-1)|$$ $$\left|\ (x+1)+i(y-1)\right|^2 = |(x-1)+i(y-1)|^2$$ desde $$\left|\ (x+iy)\right|^2 = x^2+y^2$$ entonces $$\left|\ (x+1)+i(y-1)\right|^2 = |(x-1)+i(y-1)|^2$$ $$ (x+1)^2+(y-1)^2=(x-1)^2+(y-1)^2 $$ $$(x+1)^2=(x-1)^2$$ $$x=0$$ ecuación del eje.