Deje $U$ ser unitaria, rep. de $\mathbb{R}^d$ sobre un espacio de Hilbert separable $H$, e $H\cong\oplus L^2_{\mu_v}(\mathbb{R}^d)$ ser la descomposición espectral (de acuerdo con el teorema espectral para estas representaciones). Entonces parece que $t\mapsto U(t)$ es continua (en el operador de la norma), el fib no es un conjunto acotado $K$ $\mathbb{R}^d$ de manera tal que el apoyo de todo el espectro de medidas de $\mu_v$ está contenido en $K$. Es esto cierto, ¿cómo demostrarlo? Yo sería feliz si alguien me da un bosquejo de la prueba y sugerencias, que contiene la idea principal.
Respuesta
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David C. Ullrich
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Me debe faltar algo - esto parece trivial. El argumento de abajo tal vez toma más de una línea, pero no hay nada inteligente al respecto, cada paso es un "ok, sólo el trabajo de" cosa.
Decir $K_n$ es el apoyo de $\mu_n$. Entonces $$||U_x-I||=\sup_n\sup_{t\en K_n} |e^{ix\cdot t}-1|.$$ So for $\delta>0$ we have $$\sup_{|x|<\delta}||U_x-I||=\sup_n\sup_{t\en K_n} \sup_{|x|<\delta}|e^{ix\cdot t}-1|.$$
Lema Supongamos $\delta>0$$t\in\Bbb R^d$.
- $\sup_{|x|<\delta}|e^{it\cdot x}-1|\le\delta|t|$.
- Si $\delta|t|>\pi$$\sup_{|x|<\delta}|e^{it\cdot x}-1|=2$.
Lema Supongamos $\delta>0$$K\subset \Bbb R^d$. Deje $r=\sup_{t\in K}|t|$.
- $\sup_{t\in K}\sup_{|x|<\delta}|e^{it\cdot x}-1|\le\delta r$.
- Si $\delta r>\pi$$\sup_{t\in K}\sup_{|x|<\delta}|e^{it\cdot x}-1|=2$.
Ahora vamos a $r_n=\sup_{t\in K_n}|t|$.
Supongamos $r_n$ es ilimitado. A continuación, para cada $\delta>0$ existe $n$$r_n\delta>\pi$, por lo tanto $$\sup_{|x|<\delta}||U_x-I||=2\quad(\delta>0)$$, así que nuestra representación no es continua en la norma.
Supongamos que en el otro lado que $r_n\le r$ todos los $n$. A continuación, $$\sup_{|x|<\delta}||U_x-I||\le r\delta,$$y así tenemos continuidad en la norma.
