Consideremos los subconjuntos de 1000 elementos

Question

Considere todos los subconjuntos de 1000 elementos del conjunto $A = \{ 1, 2, 3, ... , 2015 \}$ . De cada uno de estos subconjuntos se elige el menor elemento. La media aritmética de todos estos elementos mínimos es $\frac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos relativamente primos. Encontrar $p + q$ .

Lo será:

$$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_{k}}{k}$$

Obviamente, un conjunto lo es: $\{1, 2, 3, ..., 1000\}$ otra podría ser: $\{1, 3, ... , 1000,1001\}$ .

Hay $2015 - 1 + 1 = 2015$ elementos en el conjunto $A$ . Así que:

$\binom{2015}{1000}$ de 1000 subconjuntos de elementos están presentes.

Este problema es muy difícil de resolver para mí en este momento...

Sólo sugerencias, por favor. ¡Gracias!

Answer 1

Una posible pista :

Hay

• $ 2014 \choose 999 $ subconjuntos con 1 como elemento más pequeño
• $ 2013 \choose 999 $ subconjuntos con 2 como elemento más pequeño
• $\cdots$
• $ 2015-k \choose 999 $ subconjuntos con k como elemento más pequeño

Así que estás viendo

$$\frac{p}{q} = \frac{ \sum_{k=1}^{1016} k {2015-k \choose 999} }{ 2015 \choose 1000} $$

¿Puedes calcular esta suma?

$$\sum_{k=1}^{1016} k {2015-k \choose 999} $$