Encontrar el número de pares coprime triples de enteros positivos (a,b,c) con un

Question

Encontrar el número de pares coprime ternas de números enteros positivos $a,b,c$ $a\lt b\lt c$ tal que

                     a|bc−31, b|ca−31, c|ab−31  

Detalles y supuestos: La notación n∣m significa que $n$ es un divisor de a $m$.

Aclaración: $(ab−31)$,$(ac−31)$, y $(bc−31)$ puede ser cero o negativo.

Cualquier ayuda será apreciada. Gracias

Answer 1

Sugerencia: $a, b, c$ brecha $ab+ac+bc-31$, así que ya que son pares coprime, $$abc \mid (ab+ac+bc-31)$$

Continuación: Nota de que la anterior es equivalente a las condiciones dadas. Considere la posibilidad de 3 casos, donde$ab+ac+bc-31$$=0, <0, >0$.

Caso 1: $ab+ac+bc-31=0$ ,$31=ab+ac+bc \geq a(a+1)+a(a+2)+(a+1)(a+2)=3a^2+6a+2$, lo $a \leq 2$.

Si $a=1$,$c>b>1$, e $(b+1)(c+1)=32$. Tenemos $3 \leq b+1<\sqrt{32}$$b+1=4, c+1=8$$(a, b, c)=(1, 3, 7)$.

Si $a=2$,$c>b>2$$(b+2)(c+2)=35$. Tenemos $5 \leq b+2<\sqrt{35}$$b+2=5, c+2=7$$(a, b, c)=(2, 3, 5)$.

Caso 2: $ab+ac+bc-31<0$,$abc \leq |ab+ac+bc-31|=31-ab-ac-bc$.

Si $a \geq 2$,$b \geq 3, c \geq 4$, lo $31 \geq abc+ab+ac+bc \geq 2(3)(4)+2(3)+2(4)+3(4)>31$, una contradicción. Por lo tanto $a=1$, lo $c>b>1$$2bc+b+c \leq 31$.

Si $b \geq 3$,$c \geq 4$, lo $31 \geq 2bc+b+c \geq 2(3)(4)+(3)+(4)=31$, por lo que la igualdad tiene y hemos $(a, b, c)=(1, 3, 4)$. La comprobación, esto funciona.

De lo contrario,$b=2$, lo $5c \leq 29$, dando $c=3, 4, 5$. Sin embargo también tenemos $c \mid ab-31=-29$, por lo que este no da ninguna solución.

Caso 3: $ab+ac+bc-31>0$ ,$abc \leq ab+ac+bc-31$.

Si $a \geq 3$,$abc \geq 3bc \geq ab+ac+bc>ab+ac+bc-31 \geq abc$, una contradicción.

Por lo tanto $a=1, 2$. Si $a=2$,$c>b>2$$2bc \leq 2b+2c+bc-31$, lo $bc+31 \leq 2b+2c$, lo $(b-2)(c-2)+27 \leq 0$, una contradicción.

Por lo tanto $a=1$, lo $bc \leq b+c+bc-31$, lo $b+c \geq 31$. También se $bc \mid (b+c+bc-31)$, lo $bc \mid (b+c-31)$. Si $b+c=31$,$(a, b, c)=(1, 2, 29), (1, 3, 28), \ldots, (1, 15, 16)$. De lo contrario,$bc \leq b+c-31$, lo $(b-1)(c-1)+30 \leq 0$, una contradicción.

Para concluir, las soluciones se $(1, 3, 7), (2, 3, 5), (1, 3, 4), (1, 2, 29), (1, 3, 28), \ldots, (1, 15, 16)$.