¿Cuál crees que es el método más rápido para encontrar el límite de $$\lim _{x\to 0}\frac{(1+x)^{1\over x}-e}{x}$$ (sin el uso de expansión de la serie)?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Paramanand Singh
Puntos
13338
Mientras que el cálculo de límites, si usted encuentra una expresión del tipo $\{f(x)\}^{g(x)}$ (de modo que tanto la base y exponente son variables en lugar de las constantes), entonces es mejor proceder a la refundición de la expresión en la forma $\exp\{g(x)\log f(x)\}$ donde $\exp(t)$ es sólo una notación equivalente a la de $e^{t}$. Ahora podemos proceder de la siguiente manera \begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^{1/x} - e}{x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\exp\left(\dfrac{\log(1 + x)}{x}\right) - \exp(1)}{x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\exp(1)\cdot\dfrac{\exp\left(\dfrac{\log(1 + x)}{x} - 1\right) - 1}{x}\notag\\ &= e\lim_{x \to 0}\dfrac{\exp\left(\dfrac{\log(1 + x)}{x} - 1\right) - 1}{\dfrac{\log(1 + x)}{x} - 1}\cdot\dfrac{\dfrac{\log(1 + x)}{x} - 1}{x}\notag\\ &= e\lim_{t \to 0}\frac{e^{t} - 1}{t}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x) - x}{x^{2}}\text{ (putting }t = \left(\frac{\log(1 + x)}{x} - 1\right))\notag\\ &= e\cdot 1\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x) - x}{x^{2}}\notag\\ &= e\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1}{1 + x} - 1}{2x}\text{ (by L'Hospital's Rule)}\notag\\ &= -\frac{e}{2}\lim_{x \to 0}\frac{1}{1 + x}\notag\\ &= -\frac{e}{2} \end{align} Siempre es mejor usar L'Hospital de la Regla (si es necesario), junto con la manipulación algebraica y algunos límites estándar como $$\lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x)}{x} = 1,\,\lim_{x \to 0}\frac{e^{x} - 1}{x} = 1$$ Esto evita el uso repetido de LHR así como nos salva de complicadas expresiones obtenidas a través de la diferenciación, mientras que la aplicación de LHR.
