Una verificación para una prueba que $\omega_1 \leq \mathfrak s$

Question

Estoy tratando de demostrar que

$\omega_1 \leq \mathfrak s$

donde $\mathfrak s$ es el número de división que es la cardinalidad más pequeña de cualquier familia de división. Esta afirmación se dejó como ejercicio al lector en un libro que estoy leyendo.

A familia dividida es una familia $\mathcal L \subseteq [\omega]^\omega$ tal que cada conjunto $y \in [\omega]^\omega$ está dividido por al menos un $x \in \mathcal L$ . Además, un conjunto $x \subseteq \omega \space$ divisiones un conjunto infinito $y \in [\omega]^\omega$ si ambos $y \cap x$ et $y\setminus x$ son infinitas.

Esta es la prueba en la que estaba pensando:

Dada una familia de escisión $\mathcal L$ demostraremos que $\mathcal L$ es incontable. Supongamos que $\mathcal L$ era contable. Entonces podemos escribirlo a $\bigcup_{n \in \omega}U_n$ . Tómalo ahora: $a_1 \in U_1,a_2 \in U_2\setminus U_1,...a_n \in U_n\setminus \{U_1 \cup U_2 \cup ... \cup U_{n-1}\}$ . Tome $A=\{a_n\}$ Lo conseguimos por cada $n \in \omega$ , $U_n \cap A$ es finito. Contradiciendo nuestra suposición de que $\mathcal L$ era una familia dividida.

¿Qué opinas, está bien esta prueba? Gracias. Shir

Answer 1

Demostramos que una familia contable $U_1,U_2,U_3,\dots$ de subconjuntos de $\omega$ no puede ser una familia dividida.

Elija un conjunto infinito $S_1\in\{U_1,\omega\setminus U_1\}$ .

Elija $a_1\in S_1$ .

Elija un conjunto infinito $S_2\in\{S_1\cap U_2,S_1\setminus U_2\}$ .

Elija $a_2\in S_2\setminus\{a_1\}$

Elija un conjunto infinito $S_3\in\{S_2\cap U_3,S_2\setminus U_3\}$ .

Elija $a_3\in S_3\setminus\{a_1,a_2\}$ .

וכן הלאה