Raíz del polinomio (utilizando el principio de mapeo de contracción)

Question

Se me pide que proporcione un algoritmo iterativo que lleve a encontrar una raíz real de este polinomio:

$$6x^5-x^3+6x-6=0$$ Es necesario basarse en el principio de mapeo de contracción y Teorema del punto fijo de Banach .

Por el momento creo que puedo reescribir $$f(x) = \sqrt[5]{x^3/6-x+1}$$ e intentar demostrar que en un espacio métrico completo $\langle \, \mathbb{R}, d \, \rangle$ Tengo un mapa de contracción $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y en consecuencia un punto fijo único es mi solución. Ya veo que va a ser un lío (parte de la prueba de mapeo de contracción) y la idea de que me enferma...

Además de esos 6'es en los tempos iniciales del polinomio para reescribir $$ x = \sqrt[3]{6} \sqrt[3]{x^5+x-1}$$ pero no veo nada bueno en ello.

Como soy muy nuevo en el análisis funcional y en los espacios métricos, he decidido pediros sugerencias sobre la forma más suave de hacerlo.

La respuesta final (punto fijo) será $x \approx 0.78$ así que me encantaría tener el mapa de contracción sobre $[0;1]$ , $[-1;1]$ , $[0;2]$ , $[-2;2]$ o algo así que sería fácil de probar (la contractilidad que es) sin calculadora... ¡Pero no lo encuentro!

Answer 1

Tomar la quinta raíz fue una buena idea: ayuda a que los derivados sean pequeños.

Consideremos el polinomio $$p(x):={x^3\over 6}-x+1$$ en el intervalo $X:=[0,1]$ . Desde $p'(x)={x^2\over2}-1<0$ $\ (x\in X)$ se deduce que $$ p(x)\geq p(1)={1\over6}\qquad(x\in X)\ .\tag{1}$$ Ahora defina $$f(x):=\bigl(p(x)\bigr)^{1/5}\qquad(x\in X)\ .$$ Entonces $$f'(x)={1\over5}\bigl(p(x)\bigr)^{-4/5}\biggl({x^2\over2}-1\biggr)\ .\tag{2}$$ De ello se desprende que $f'(x)<0$ para todos $x\in X$ . Por lo tanto, $$0<{1\over 6^{1/5}}=f(1)\leq f(x)\leq f(0)=1\qquad(x\in X)\ ,$$ lo que demuestra que $f$ mapea el espacio métrico completo $X$ en sí mismo.

Para terminar la prueba necesitamos una estimación de $|f'(x)|$ . Desde $(1)$ y $(2)$ se deduce que $$|f'(x)|\leq{1\over5}6^{4/5}<0.84\qquad(x\in X)\ .$$ Por tanto, podemos concluir que en el intervalo $X$ hay exactamente un punto $\xi$ tal que $f(\xi)=\xi$ . De ello se desprende que $p(\xi)=\xi^5$ o que $\xi$ es una raíz del polinomio $q(x)=6x^5-x^3+6x-6$ .