Borel Medida que la integración de un polinomio rendimientos de la derivada en un punto

Question

¿Existe una firma de Borel regular, medida que

$$ \int_0^1 p(x) d\mu(x) = p'(0) $$

para todos los polinomios de mayor grado $N$ fijos $N$. Esto parece similar a una medida de Dirac en un punto. Si fuera en lugar de pedir la integral para rendir $p(0)$, sugiero dejar $\mu = \delta_0$. Es decir, $\mu(E) = 1$ fib $0 \in E$. Sin embargo, este es un poco diferente y estoy un poco inseguro de ella. Ha sido un tiempo desde que he hecho ningún análisis real, así que me he olvidado un poco. Eché un vistazo hacia atrás en mi viejo libro de texto y no veo nada demasiado similares. Si alguien me pudiera dar un puntero en la dirección correcta, eso sería genial. Yo también soy una especie de curiosidad de saber si el cambio de la integración intervalo de [0,1] a todos los de $\mathbb{R}$ cambia nada o si la validez de la declaración es alterado por permitir que sea para todos los polinomios, en lugar de sólo los polinomios de más de algún grado.

Gracias!

Answer 1

Sí no. De hecho, usted puede tomar cualquier $N+1$ puntos distintos en $[0,1]$ y la medida apoyada allí. Supongamos que los puntos se $x_1, \ldots, x_{N+1}$. Deje $e_j(x)$ ser el único polinomio de grado $\le N$ $e_j(x_i) = 1$ $i=j$, $0$ de lo contrario: de forma explícita $$e_j(x) = \prod_{i\in \{1,\ldots,N+1\} \backslash \{j\}} \frac{x - x_i}{x_j - x_i}$$
Tenga en cuenta que para cualquier polinomio $p$ de grado $\le N$, $p = \sum\limits_{j=1}^{N+1} p(x_j) e_j$. Así que usted puede tomar $\mu = \sum\limits_{j=1}^{N+1} e'_j(0) \delta_{x_j}$ y obtener $$ \int_0^1 p \ d\mu = \sum_{j=1}^{N+1} e'_j(0) p(x_j) = p'(0)$$

Answer 2

Mientras que usted sólo está interesado en los polinomios de grado menor o igual a algunos fijos $N$, entonces usted puede tomar $\mu$ sí mismo para ser un polinomio veces $dx$ debido a que usted está buscando en un número finito de dimensiones interiores espacio del producto. En este caso, también se puede considerar como una medida en la línea que está apoyado en un intervalo.

Mi conjetura es que si usted quiere conseguir los polinomios de grado arbitrario, no va a ser posible. Una prueba de que se puede proceder por algo como RobJohn la sugerencia -- si la medida se compacta compatible, por tanto, de Stone-Weierstrass, sus valores a las funciones continuas (y, por tanto, los conjuntos de Borel), estaría determinada por sus valores en polinomios. Ahora, a la medida que usted está buscando se supone que han finito momentos de cualquier orden, pero no necesariamente de forma compacta compatible.

Answer 3

Si desea una rápida, perezoso respuesta sin ningún tipo de cálculo:

Considerar el espacio de Banach $C([0,1])$ e su $n+1$-dimensiones subespacio $\mathcal{P}_n$ que consta de todos los polinomios de grado en la mayoría de las $n$. El mapa de $\ell : \mathcal{P}_n \to \mathbb{R}$ definido por $\ell(p) = p'(0)$ es lineal, por lo que desde $\mathcal{P}_n$ es finito dimensionales, $\ell$ es continua. Por el de Hahn-Banach teorema se tiene un continuo de extensión lineal $\tilde{\ell} : C([0,1]) \to \mathbb{R}$. Por la representación de Riesz teorema no es una firma de Borel regular de medida $\mu$ $[0,1]$ tal que $\tilde{\ell}(f) = \int f\,d\mu$, y para los polinomios $p$ tenemos $\int p\,d\mu = \tilde{\ell}(p) = \ell(p) = p'(0)$.

Answer 4

Sí, hay cualquier cantidad de niza opciones. Si usted toma $d\mu(x)$ a ser un polinomio (veces $dx$), decir $\sum_{i=0}^{n}b_i x^{i} dx$, e integrarlo en contra de $p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i x^i$, el requisito es que $$ \int_{0}^{1} p(x)d\mu(x) = \int_{0}^{1} \sum_{i,j=0}^{n} a_i b_j x^{i+j} = \sum_{i,j=0}^{n}\frac{a_i b_j}{i+j+1} $$ debe ser igual a $a_1$. Como una ecuación de matriz, esto es $$\langle a|\mathcal{\hat{H}}|b \rangle = \langle a | 0,1,0,0,\dots\rangle = \langle a | e_2 \rangle,$$ where $\mathcal{\hat{H}}$ is the Hilbert matrix of order $n+el 1$. The solution is clearly $b=\mathcal{\hat{H}}^{-1}|e_2\rangle$, or $b_i = (\mathcal{\hat{H}}^{-1})_{i+1,2}$. Este se conoce la forma cerrada de la solución, $$ b_{i} = (-1)^{i+1}(i+2)(i+1)^2{{n+i+1}\, seleccione{n-1}}{{n+2}\, seleccione{n-i}} $$ (salvo alguna transcripción y renumeración de los errores), lo cual es interesante en que el deseado coeficientes son todos los números enteros.