Base para el conjunto de todos los covariante $k$-tensores en V

Question

He aquí una proposición de Lee sin problemas de Colectores:

Deje $V$ ser un verdadero espacio vectorial de dimensión $n$, vamos a $(E^i)$ ser cualquier base para $V$, y deje $(\epsilon^i)$ ser la base dual. El conjunto de todos los $k$-tensores de la forma $\epsilon^{i_1}\otimes...\otimes\epsilon^{i_k}$ $1 \leq i_1,...,i_k \leq n$ es una base para el conjunto de todos los covariante $k$-tensores en $V$, que se denota por a $T^k(V)$, lo que ha dimensión $n^k$.

Quiero construir un ejemplo basado en esta proposición. Deje $V=\mathbb{R}^3$, y deje $e_1, e_2, e_3$ denotar la forma habitual para $\mathbb{R}^3$. A continuación, la base dual $(\epsilon^i)$$dx, dy$$dz$. A continuación, $dx\otimes dy, dx\otimes dz, dy\otimes dz, dy\otimes dx, dz\otimes dy, dz\otimes dx, dx\otimes dx, dy\otimes dy$ $dz\otimes dz$ forma una base para $T^2(\mathbb{R}^3)$.

Es el ejemplo correcto hasta este punto? Si es así, cual de ellos es el simétrico de 2 tensores?

Answer 1

Sí, estás en lo correcto. Como usted ha citado, $T^k(V)$ tiene dimensión $n^k$. Ahora$n=3$$k=2$. Por lo tanto, $3^2=9$ es el número de bases y hay $9$ elementos en $$\{dx\otimes dy, dx\otimes dz, dy\otimes dz, dy\otimes dx, dz\otimes dy, dz\otimes dx, dx\otimes dx, dy\otimes dy, dz\otimes dz\}.$$

Ninguno de ellos es sysmmetric 2-tensor. Por definición, symmemetric tensor es un tensor $T$ que es invariante bajo una permutación de su vector de argumentos. Por lo tanto, permutate $x$$y$, tenemos $$dx\otimes dy\leftrightarrow dy\otimes dx,\hspace{2 mm}dx\otimes dz\leftrightarrow dy\otimes dz \hspace{2 mm} dz\otimes dy\leftrightarrow dz\otimes dx,\hspace{2 mm} dx\otimes dx\leftrightarrow dy\otimes dy.$$ Por otro lado, permutate $x$$z$, tenemos $$dx\otimes dx\leftrightarrow dz\otimes dz.$$ Por lo tanto, ninguno de ellos es simétrica. Sin embargo, usted puede encontrar simétrica 2-tensor mediante la formación de la combinación lineal de ellos (ya que constituyen una base), por ejemplo, $$dx\otimes dy+dy\otimes dx+dx\otimes dz+dz\otimes dx+dy\otimes dz+dz\otimes dy$$ o $$dx\otimes dx+dy\otimes dy+dz\otimes dz$$ son simétricas 2-tensores.

Answer 2

Sólo para abundar en el comentario de Santiago Canez:

Decimos que un covariante $k$-tensor $T$ es simétrica si es invariable en virtud de la permutación de argumentos, yo.e: $$T(X_1, \ldots, X_k) = T(X_{\sigma(1)}, \ldots, X_{\sigma(k)})$$ donde $\sigma$ es cualquier permuation de $k$ elementos.

Por lo que es inmediato que $dx\otimes dx$, $dy\otimes dy$ y $dz\otimes dz$ son simétricas. Además, existe un natural de la proyección de $T^k(V)$ para el conjunto de tensores simétricos llamado simetrización. Deje $S_k$ el grupo de permutaciones de $\{1, \ldots, k\}$ cualquier $\sigma\in S_k$ definir $$T^\sigma(X_1, \ldots, X_k) = T(X_{\sigma(1)}, \ldots, X_{\sigma(k)}).$$ A continuación, definimos $\text{Sym}: T^k(V) \to\text{symmetric tensors}$, por $$\text{Sym}\, T = \frac{1}{k!}\displaystyle\sum_{\sigma\in S_k}T^\sigma.$$ A continuación, $\text{Sym}\, T$ es un tensor simétrico.