mostrando curvatura cero implica una línea de

Question

¿Cómo puedo demostrar que un determinado (no necesariamente de la unidad de velocidad) parametrización $\gamma(t)$ de una curva en $\mathbb{R}^3$ que presenta una curvatura cero es una línea ? Lo que sé es que la curvatura cero significa que $$ \kappa(t) = \frac{\|\langle\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)\rangle \ddot\gamma(t) - \langle\dot \gamma(t),\ddot \gamma(t)\rangle\dot \gamma(t)\|}{\|\dot \gamma(t)\|^4} = 0 $$ a partir de la cual puedo deducir que $$ \langle\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)\rangle \ddot\gamma(t) = \langle\dot \gamma(t),\ddot \gamma(t)\rangle\dot \gamma(t) $$ es decir, $$ \ddot\gamma(t) = \frac{\langle\dot \gamma(t),\ddot \gamma(t)\rangle}{\|\dot\gamma(t)\|^2} \dot \gamma(t) \qquad \text{para todo } t\,. $$ De alguna manera estoy ciego aquí - ¿cómo esta me digo entonces que $\ddot \gamma(t)$ se desvanece de forma idéntica? Para esto es lo que debo deducir que $\gamma(t)$ es una línea ..

Muchas gracias por las sugerencias!

Answer 1

$\ddot \gamma(t)$ no se desvanecen en general, sólo piensa en de $t\mapsto (t^2, 0,0)$. Si usted no desea reajuste de parámetros $\gamma$, usted tendrá que demostrar que $\gamma(t) = f(t) v_0$ para algunos vectores $v_0$ y una función escalar $f(t)$. Para hacer esto usted podría, por ejemplo, sostienen que la única solución a $$\dot v(t) = g(t) v(t), \; v(0) = v_0, \qquad \text{where } g(t) := \frac{\langle\dot \gamma(t), \ddot \gamma(t)\rangle}{\Vert \dot \gamma(t)\Vert^2}$$ está dado por $v(t) = f(t)v_0$ para algunos la función $f$.