¿Una gran incertidumbre en un valor dado justifica una gran incertidumbre en el resultado?

Question

Estoy trabajando en un pre-laboratorio para mi sesión de laboratorio de Física 1, y tuve un debate con la persona con la que comparto el coche (que está tomando el laboratorio de Física 1 basado en álgebra). Parece que no estamos seguros de las incertidumbres, y de cómo juegan al hacer los cálculos.

La pregunta formulada era la siguiente:

Cuando la masa que cae es $0.250\text{ kg}$ un estudiante obtiene una aceleración de la parte 2.1 de $0.3±0.1\ \mathrm{m/s^2}$ y el radio del eje de la parte 2.2.1 del $0.015\text{ m}$ .

a.) ¿Cuál es la aceleración angular prevista en la parte 2.2.2? La aceleración angular medida de la parte 2.4 es $16.1±0.3\ \mathrm{rad/s^2}$ .

Las fórmulas dadas fueron:

Utilicé la fórmula de la aceleración, y obtuve:

$$\begin{align} a &= \alpha r_\text{shaft} \\ (0.3\pm0.1) &= \alpha\cdot(0.015) \\ \frac{(0.3\pm0.1)}{(0.015)} &= \alpha \\ 13.33\;\mathrm{\frac{rad}{s^{2}}} &\leq \alpha \leq \; 26.67 \;\mathrm{\frac{rad}{s^{2}}} \\ \alpha &= 20.00 \pm 6.67 \;\mathrm{\frac{rad}{s^{2}}} \end{align}$$

Mi amigo dice que eso es incorrecto (aunque no entiendo bien su razonamiento), pero sobre todo dice que se nota enseguida porque la incertidumbre es muy alta (más del 30% del valor). Mi argumento es que la incertidumbre dada originalmente (±0,1) es el 30% del valor original, así que ¿por qué la incertidumbre del resultado no puede ser el 30% del valor calculado?

Mi amigo tiene un buen punto, la incertidumbre para el valor es muy alta. Pero, ¿la gran incertidumbre en la aceleración dada hace que esté bien que la incertidumbre final sea tan alta?

Answer 1

Cuando se dividen números con incertidumbres, el relativa las incertidumbres de los dos números se suman en cuadratura (pdf). Si una de las incertidumbres relativas es mucho menor que la otra, se puede ignorar. Dada la redacción del problema que citas, parece que puedes tratar el radio de la varilla como si tuviera una incertidumbre despreciable. Así que su razonamiento es correcto la incertidumbre relativa del resultado será exactamente la misma que la incertidumbre relativa de la variable de entrada.

El caso general es complicado, pero tu intuición es correcta. En general, una mayor incertidumbre en las entradas provoca una mayor incertidumbre en la salida. "Grande" depende del contexto exacto, y a veces algunas incertidumbres simplemente no importan.

Answer 2

En resumen, la incertidumbre de los insumos no conduce en general a la misma incertidumbre de los resultados. La forma en que la incertidumbre se traduce de las entradas medidas a las salidas es realmente una cuestión de lo que es la función de transferencia. Para el problema sencillo que tiene, debería poder mostrar cómo los errores de entrada se traducen en los de salida. Conseguir una incertidumbre de salida aceptable a partir de la incertidumbre de entrada es uno de los muchos retos de diseñar un buen experimento.