Mostrar que $n! \mid (p^n-1)(p^n-p) \cdots (p^n-p^{n-1})$ donde $p$ es el primer y $n \geq 1$.

Question

Así que, me estoy preparando para un examen y en uno de los problemas a los que se nos pide encontrar el número de distintas bases que podemos tener para un $n$ dimensiones de espacio vectorial sobre un campo finito de $p$ elementos ($p$ es un número primo, por supuesto).

Así que, empecé a razonar de esta manera: Primero, decidí resolverlo por simplificar el problema con poner una orden. Para el primer vector, puedo optar $p^n -1$ elementos en $F^n$ porque $0$ no puede ser elegido. Para el segundo vector, puedo optar $p^n - p$ elementos debido a que el segundo vector no mentira, en el lapso del primer vector. Para el tercer vector puedo elegir a $p^n - p^2$ vectores que no se encuentran en el lapso de la previamente seleccionada vectores. Continuando con este razonamiento tendré $p^n - p^{n-1}$ opciones para la $n$-ésimo vector en mi base establecida. A continuación, ya que no importa el orden en el problema, tengo que dividir por $n!$ encontrar el número de distintas bases sin considerar el orden. Me parece que se ha solucionado el problema, pero entonces una pregunta apareció en mi mente.

Qué $n!$ realmente se dividen $(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)\cdots(p^n-p^{n-1})$ $n \geq 1$ donde $p$ es un número primo?

Este conteo fórmula de la muestra que debe ser cierto, pero yo estoy buscando un número teórico de la prueba de si es posible o algún argumento de que es independiente de esta combinatoria prueba que tengo.

Answer 1

Su recuento de la prueba es una buena prueba.

Como alternativa, se le otorga ningún otro prime $q$, hallar la potencia más alta de $q$ que divide $n!$. Muestran que es menos que o igual a la máxima potencia de $q$ que divide $(p-1)(p^2-1)\cdots(p^n-1)$.

A continuación, sólo tiene que lidiar con el caso de $q=p$.

Que no es particularmente una prueba directa, sin embargo.

Esta prueba va a trabajar para $p$ no es un número primo, entonces acaba de romper los casos en $q\mid p$$q\not\mid p$.

Específicamente, la cantidad de tiempo $q$ $n!$ es:

$$\sum_{k=1}^\infty \left\lfloor\frac n {q^k}\right\rfloor$$

Pero podemos mostrar, por una razón similar, que, si $q\not\mid p$, $q$ $(p-1)(p^2-1)\cdots(p^n-1)$ al menos:

$$\sum_{k=1}^\infty \left\lfloor\frac n {\phi(q^k)}\right\rfloor$$ veces. Esto es debido a que, si $\phi(q^k)\mid m$$q^k\mid p^m-1$.

Desde $\phi(q^k)<q^k$, podemos ver que $ \left\lfloor\frac n {q^k}\right\rfloor\leq \left\lfloor\frac n {\phi(q^k)}\right\rfloor$ por cada $k$. Por lo $q$ $n!$ no más veces de las $q$$(p-1)(p^2-1)\cdots(p^n-1)$.

Me pregunto si hay una combinatoria de prueba para el general $p$ - el recuento de la prueba en la pregunta sólo se generaliza para $p$ una fuente primaria de energía.