Ideales máximos en $K[X_1,\dots,X_n]$

Question

Que $K$ ser un campo y $a_1,\dots,a_n \in K$. Demostrar que el ideal $$(X_1-a_1,\dots,X_n-a_n)$$ is maximal in $K[X_1,\dots,X_n] $.

Traté de demostrar que los únicos elementos fuera el ideal son invertibles de $K$ (todavía debo probar que esto implica maximality, pero no debería ser demasiado difícil).

¿Hay una mejor estrategia, u otra estrategia?

Answer 1

Sugerencia: definir

$$f:K[X_1,...,X_n]\to K\;\;,\;\;f(g(X_1,...,X_n)):=g(a_1,...,a_n)$$

1) Mostrar $\,f\,$ es un homomorfismo de anillo sobreyectiva

2) Utilice ahora el primer teorema del isomorfismo para anillos de

3) Recuerde: si $\,R\,$ es un anillo conmutativo unitario, un ideal $\,I\leq R\,$ es máximo % iff $\,R/I\,$es un campo.

Answer 2

Deje $P(X_1, \ldots, X_n)$ un polinomio. Sustituto $X_i\mapsto X_i + a_i$ y obtener $$P(X_1+ a_1, \ldots, X_n + a_n) = \sum c_{\alpha} X_1^{\alpha_1} \ldots X_n^{\alpha_n}$$ y así

$$P(X_1, \ldots, X_n) = \sum c_{\alpha} (X_1-a_1)^{\alpha_1} \ldots (X_n-a_n)^{\alpha_n}$$

Tenga en cuenta que $c_{(0,\ldots, 0)} = P(a_1, \ldots, a_n)$. Por otra parte, $$P(X_1, \ldots, X_n) = c_{(0,\ldots, 0)}+ \sum (X_i - a_i) g_i(X_1, \ldots, X_n)$$ como todos los otros términos de $c_{\alpha}(X-a)^{\alpha}$ son divisibles por algunos $(X_i - a_i)$. Por lo tanto $$P(X_1, \ldots, X_n) - P(a_1, \ldots, a_n) \in (X_1-a_1, \ldots, X_n - a_n)$$

y, por tanto,$P(a_1, \ldots, a_n) \in (P, (X_1 - a_1) , \ldots, (X_n - a_n))$. Supongamos, además, que $P \not \in (X_1- a_1, \ldots X_n - a_n)$. A continuación, $P(a_1, \ldots, a_n) \ne 0$ y llegamos a la conclusión de que $1 = P(a_1, \ldots, a_n)^{-1} \cdot P(a_1, \ldots, a_n) \in (P, (X_1 - a_1), \ldots, X_n - a_n)$. Por lo tanto, $(X_1-a_1, \ldots, X_n - a_n)$ es máxima.

Answer 3

% Toque $\ \ (I,f) = (I,f\ mod\ I) = (I,f(\bar a))\,\ [\,= 1 \iff f(\bar a)\ne 0\iff f\not\in I]$

Nota $\ $ es ilustrativo comparar este enfoque interno el enfoque estructural mencionado por DonAntonio.

Answer 4

Me doy cuenta de que debemos evitar responder a otras respuestas, pero cuando hacen declaraciones falsas no debe ser una forma de corregirlos.

$\mathbb Q$ es un campo. ${X_1}^2-2$ es un primer elemento en $\mathbb Q\left[ X_1\right]$ que es una p.yo.d lo ${X_1}^2-2$ genera un ideal maximal. Lo contrario de esta afirmación es falsa para el campo $\mathbb Q$ o cualquier campo que no es algebraicamente cerrado. Si $K$ es algebraicamente cerrado, tanto en el enunciado de la pregunta, y su opuesto, son corolarios de Hilbert Nullstellensatz. Este resultado básico en la geometría algebraica se puede encontrar en los textos de geometría algebraica, por ejemplo Eisenbud del Álgebra Conmutativa, con miras a la geometría algebraica, Springer Posgrado Textos en Matemáticas, vol 150, pp 34--35.