Determinar si un vector en el espacio columna de una matriz

Question

Hola estoy teniendo algunos problemas con el siguiente problema:

Tengo un $3\times3$ matriz simétrica $$ A=\pmatrix{1+t&1&1\\ 1&1+t&1\\ 1&1&1+t}. $$ Estoy tratando de determinar los valores de $t$ para que el vector $b = (1,t,t^2)^\top$ (este es un vector columna) está en el espacio columna de a $A$.

Creo que soy bastante consciente de cómo ir sobre él, formando la matriz ampliada $[A|b]$ y, básicamente, el uso de fila ops para encontrar una solución con la que yo podría resolver para el valor de la(s)$t$. Pero he estado intentando esto y no tienen suerte. Puede que me falte algo?

Gracias

Answer 1

En caso de que usted está familiarizado con determinantes, se puede ver que la matriz es invertible, a menos que $t \in \{0,-3 \}$. Si $A$ es invertible es su espacio de la columna de $\mathbb R^3$ y los dos restantes casos $t=0,-3$ son fáciles de controlar por separado.

Answer 2

Eliminación Gaussiana no es difícil en este caso:\begin{align} \left[\begin{array}{ccc|c} 1+t & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+t & 1 & t \\ 1 & 1 & 1+t & t^2 \end{matriz} \right] & \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1+t & t^2 \\ 1 & 1+t & 1 & t \\ 1+t & 1 & 1 & 1 \end{array}\right] \\ & \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1+t & t^2 \\ 0 & t & -t & t-t^2 \\ 0 & -t & -2t-t^2 & 1-t^2(1+t) \end{array}\right] \end{align} si $t\ne0$ podemos ir:\begin{align} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1+t & t^2 \\ 0 & t & -t & t-t^2 \\ 0 & -t & -2t-t^2 & 1-t^2-t^3 \end{matriz} \right] & \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1+t & t^2 \\ 0 & 1 & -1 & 1-t \\ 0 & 0 & -3t-t^2 & 1+t-2t^2-t^3 \end{array}\right] \end{align} si $t=-3$, la última fila se convierte en $$\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 0 & 7 \end{matriz} $$ por lo que el sistema no tiene solución.

Si $t\ne-3$, el sistema tiene una solución.

Si $t=0$, tenemos, desde el lugar nos detuvimos en \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right $$] $$ y el sistema no tiene solución.

Answer 3

Intercambio de dos columnas de Una no va a cambiar su columna en el espacio. Considere la matriz $$ Una' = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1+t \\ 1 & 1+t & 1 \\ 1+t & 1 & 1 \end{array} \right), $$ que se obtiene intercambiando la primera y la última columna de A. la Formación de la matriz ampliada $[A', b]$ y restando la primera fila de la segunda fila y la primera fila veces $1+t$ desde la tercera fila de los rendimientos $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1+t & 1 \\ 0 & t & -t & t-1 \\ 0 & -t & -t^2-2t & t^2-t-1 \end{array}\right). $$ Observe que si $t=0$, la segunda fila se crea el sistema inconsistente, por lo $t \ne 0$. La adición de la segunda fila a la tercera y luego la división de la segunda fila $t$ da $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1+t & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1-\frac{1}{t} \\ 0 & 0 & -t^2-3t & t^2-2 \end{array} \right). $$ Ahora, si $t=-3,0$, la tercera fila se crea el sistema inconsistente, por lo $t \ne -3,0$. Así, podemos dividir la tercera fila por $-t^2 -3t$ para obtener la forma escalonada de la matriz $$ R = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1+t & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1-\frac{1}{t} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{t^2-2}{-t^2-3t} \end{array} \right). $$ Por lo tanto, $[1, t, t^2]^T$ está en la columna espacio de Un siempre $t \ne 0$$t \ne -3$.

Answer 4

Aquí es la matriz $$ A = \left[ \begin{matrix} 1+t & 1 & 1 \\ 1 & 1+t & 1 \\ 1 & 1 & 1+t \end{matrix} \right] $$ y denotan $$ b = \left[ \begin{matrix} 1 \\ t \\ t^2 \end{matrix} \right] $$ A continuación, $b$ está en el espacio columna de a $A$ si y sólo si hay $$ v = \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right] $$ tal que $Av = b$.

Usted puede traer a la matriz escalonada a través de Gauss-Jordan eliminación. Es un tidious proceso en este caso. El uso de Wolfram Alpha se obtiene $$ x = \frac{2t}{t(t+3)}, \quad y = \frac{2t-1}{t(t+3)}, \quad z = \frac{t^3 + 2 t^2 - t -1}{t(t+3)} \ . $$ Así que para cualquier $t \ne 0$ $t \ne -3$ tiene una solución, que es: $(1,t,t^2)^T$ está en el espacio columna de a $A$. Queda por comprobar los casos de $t=0$ $t=-3$ para ver si usted tiene cualquiera $$ 0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0 $$ (in that case, they may be infinite number of solutions) or $$ 0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 1 $$ en la que no hay solución.