Qué es una manera fácil para encontrar las asíntotas de la gráfica $r = \frac1{1+2\cos \theta}?$

Question

me gustaría saber una manera fácil para encontrar las asíntotas de la $$r = \frac1{1+2\cos \theta}.$ $ esto es para un público de precálculo, así que será agradable si el cálculo se puede evitar en conjunto. Sé que las asíntotas son paralelas a la líneas $\theta = \pm \pi/3.$ también sabemos que las $x$-intersecciones $1/3, 1.$

mi audiencia no sé cómo se utiliza la simetría, la mayoría de ellos no sabe que la gráfica es una hipérbola. podemos encontrar la respuesta sin utilizar la simetría de la gráfica.

Answer 1

Base cambio $\,\vec u_{2\pi/3}$ (vector de la unidad con el ángulo polar $\frac{2\pi}3$) y el vector ortogonal $\vec v_{2\pi/3}$. Tiene una asíntota con el ángulo polar $\frac{2\pi}3$ % ecuación $Y=r\sin\bigl(\theta-\frac{2\pi}3\bigr)=l$. Por lo tanto, usted tiene que determinar: %#% $ de #% con algunos trigonometría ($$\lim_{\theta\to\tfrac{2\pi}3}r(\theta)\sin\Bigl(\theta-\frac{2\pi}3\Bigr). $), usted debe encontrar un límite igual a $\cos p-\cos q= \dots$.

Answer 2

aquí es lo que se me ocurrió. sabemos que la gráfica de $r = \frac{1}{1+2\cos \theta}$ como una función de la $\theta$ tiene asíntotas verticales en $\theta = 2\pi/3, 4\pi/3.$

vamos a mostrar que, para $\theta$ cerca de $2\pi /3$ la polar gráfica es la gráfica de la pendiente de la asíntota de la hipérbola que los recortes de la $x$-eje en $\frac23.$

deje $ \theta = 2\pi/3 + h.$ $$\begin{align} r &= \frac1{1 + 2\cos(2\pi/3+h)}\\ &=\frac1{1+2\left(\cos(2\pi/3)\cos h - \sin(2\pi/3)\sin h \right)} \\ &=-\frac1{\sqrt3\sin h + \cdots} \\ &=-\frac1{\sqrt 3 \sin (t-2\pi/3) + \cdots}\end{align}$$

por lo tanto, una de las asíntotas es $$r =-\frac1{\sqrt3\sin (t-2\pi/3)},\, r(0) = \frac23 $$ como se reivindica.

de la misma manera nos encontramos con que la segunda asíntota es la recta $$r = \frac1{\sqrt3 \sin(t - 4\pi/3)}, \, r(0) = \frac23$$ y vemos que las dos asíntotas se reúnen en la $x$-interceptar $(\frac23, 0).$