La hoja está un poco arqueada, de modo que pueda mantener contacto en dos puntos sobre una superficie convexa.

Question

Este es un problema del libro Gallot, Hulin, Lafontaine: geometría de Riemann (3ª edición).

Ejercicio 2.118: Para un pacto de Riemann colector, vamos a $p,q$ dos los puntos tales que $d(p,q) = \text{diam}(M)$. Mostrar que hay en menos de dos geodésica segmentos de$p$$q$.

Pregunta: Es muy fácil demostrar que bajo la suposición adicional de que $q$ $p$ no conjugado (I proporcionan una prueba más abajo). Es esta suposición realmente necesaria, o se puede quitar?

La prueba (asumiendo $p$ $q$ no conjugado) es el siguiente (lo siento si soy un poco detallado):

Prueba:

Deje $\gamma:[0,1] \to M$ ser reducir a un mínimo la geodésica de unirse a $p$$q$. Deje $v \in T_p M$ tal que $\gamma(t)=\exp_p(tv)$. En efecto, desde el $d(p,q) = \text{diam}(M)$, este geodésica es no minimizar al prolongado tiempo pasado"$1$. Así, para cualquier punto de $:q_\epsilon = \gamma(1+\epsilon)$ existe otra minimizar geodésica $\gamma_\epsilon:[0,1]\to M$ conectar $p$$q_\epsilon$.

Deje $v_\epsilon$ el vector inicial de una geodésica, es decir,$\gamma_\epsilon(t) = \exp_p(t v_\epsilon)$. En particular, por la construcción

$$\exp_p(v_\epsilon) = \exp_p((1+\epsilon)v)$$

De hecho, $v_\epsilon \neq v(1+\epsilon)$ todos los $\epsilon > 0$. (de lo contrario el original geodésica sería miniminzing allá de su punto final).

Por compacidad, para $\epsilon \to 0$, estos geodesics converge a un límite geodésica $\gamma_0$, con la inicial del vector de $v_0$. Queda por demostrar que $v_0 \neq v$ (lo que nos da una realmente diferente geodésica).

Por absurdum, suponga $v_0 = v$. Descuidar términos de orden superior, podemos suponer $v_\epsilon = v+ \epsilon w$. Por la discusión anterior $w \neq v$. Consideremos ahora los dos campos de Jacobi a lo largo de la original geodésica $\gamma(t)$:

$$J_1(t) = \left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon =0} \exp_p(tv(1+\epsilon))$$

$$J_2(t) =\left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon =0} \exp_p(tv_\epsilon)$$

Por construcción $J_1(0) = J_2(0) = 0$. Por construcción $J_2(1) = J_1(1)$. Además de los dos campos son independientes, de hecho, mediante el cálculo de la derivada covariante w.r.t.

$$D_t J_1(0) = v$$

$$D_t J_2(0) = w$$

A continuación, el campo de Jacobi $J(t) :=J_1(t) - J_2(t)$ es no trivial de Jacobi campo (recordemos que $v\neq w$) de fuga en sus extremos, de $p$$q$, que es absurdum. Por lo tanto $v_0$ debe ser diferente de $v$.

De hecho, la última parte de la prueba, es decir, para mostrar que el límite geodésica $\gamma_0(t) = \exp_p(t v_0)$ es realmente diferente geodésica, requiere de la no-conjugacy asunción.

Answer 1

Suponga que existe precisamente una geodésica segmento de$p$$q$, decir $\gamma : [0,l] \to M$, parametrizada por longitud de arco. Por compacidad podemos extender $\gamma$ para el intervalo de $[0,\infty[$. Ahora considere una secuencia $\gamma_n : [0,l_n] \to M$ de la mínima longitud de arco geodesics de$p$$\gamma (l + \frac 1 n)$. Desde los límites de un mínimo de geodesics son mínimos geodesics y $\gamma$ es el único con un mínimo de longitud de arco geodésico de $p$ $q$se sigue que $\gamma_n$ converge a $\gamma$. Por lo tanto, el ángulo entre el $\dot \gamma(l + \frac 1 n)$ $\dot \gamma_n (l_n)$ converge a $0$.

Ahora uno puede utilizar la primera variación de la fórmula para calcular el $l_n$, la longitud de $\gamma_n$ es mayor que $l$ grandes $n$, contradiciendo el hecho de que $l$ es igual al diámetro de $M$.

Alternativamente, se puede aplicar toponogovs teorema: Vamos a $M$ satisfacer a la parte inferior de la curvatura de la enlazado $k < 0$. Para un gran $n$ considera que la comparación triángulo $\Delta_n$ $M_2^k$ con lados de $\tilde \gamma, c_n$ $\tilde \gamma_n$ de las respectivas longitudes $l, \frac 1 n$$l_n$. A continuación, el ángulo entre el $c_n$ $\tilde \gamma_n$ es menor que el ángulo correspondiente en $M$, que es arbitrario cerca de $0$ grandes $n$. A partir de la geometría de $M_2^k$ es claro que $l_n$ es striclty más grande que $l$ grandes $n$, de nuevo contradiciendo el hecho de que $l$ es igual al diámetro de $M$.

Answer 2

Gracias wspin. Sin embargo, permítame explicar algo, algún detalle es que todavía no me queda claro.

Para cualquier $s \in (-\epsilon,\epsilon)$, vamos a $\gamma_s(t)$ ser un mínimo geodésica conectar $\gamma(0)$$\gamma(t+s)$. Deje $V(t) :=\partial_s \gamma_s(t)|_{s=0}$ ser el asociado campo vectorial a lo largo de la original geodésica $\gamma$.

Por construcción $V(0) = 0$$V(1) = \dot\gamma(1)$. Aplicamos la primera variación de la fórmula y obtenemos:

$$ \left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0} L(\gamma_s) = \langle V(t),\dot\gamma(t)\rangle|_0^1 - \int_0^1 \langle V(t),\nabla_t \dot\gamma(t)\rangle dt = \|\dot\gamma(1)\|^2 > 0$$

contradiciendo el hecho de que $\gamma$ da cuenta de que el máximo de la distancia entre sus extremos.

Pregunta: el argumento anterior funciona si usted es capaz de encontrar una familia $\gamma_s$ de geodesics, al menos $C^1$$s$. Este hecho es posible si el punto final a $\gamma(1)$ es no-conjugado, pero sin este supuesto, la mínima geodésica conectar $\gamma(0)$ $\gamma(1+s)$ no es ni único. E incluso si lo fuera, la inicial del vector de $v_s$ puede no ser $C^1$$s$.

Creo que usted está considerando algún tipo de no-liso de la familia $\gamma_n$ como uno (de los muchos posibles) geodésica de unirse a $\gamma(0)$$\gamma(1+\frac{1}{n})$. ¿Cómo se puede aplicar la variación de la fórmula para esto? Hasta donde yo sé, la primera variación de la fórmula funciona para trozos $C^1$ variaciones.