La teoría del número de libros de texto basados en la absoluta Galois grupo?

Question

Acabo de terminar de leer y Ceniza Bruta del Intrépido Simetría, una pequeña y maravillosa pop matemáticas libro, entre otras cosas, representaciones de Galois. El libro hace evidente una muy interesante perspectiva que yo no era consciente de antes: que una gran parte de la teoría de los números puede ser pensado como una búsqueda para comprender $G = \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$. Por ejemplo, parte de la razón para el estudio de curvas elípticas es describir dos representaciones tridimensionales de $G$, y la reciprocidad leyes de secreto acerca de las formas de describir las huellas de Frobenius de elementos en diferentes representaciones. (Eso es impresionante! ¿Por qué no alguien que me diga que antes?)

Hay número de la teoría de los libros de texto (presumiblemente no introductorio, pero espero que no demasiado sofisticado, ya sea explícitamente tomar esto como un principio rector? Creo que esta es una gran idea para organizar las cosas como la reciprocidad cuadrática alrededor y me pregunto si alguien ha decidido hacer realidad que en la licenciatura (o de introducción de posgrado, tal vez).

Edit: En respuesta a algunos comentarios y al menos uno de los downvote, la mayoría de las preguntas en MO acerca de la absoluta Galois grupo que puedo encontrar son sobre el estado de la técnica, y las referencias que en ellos parecen bastante sofisticado. Pero me parece que todavía hay cosas interesantes que decir, a lo largo de las líneas de Valiente Simetría, pero dirigido a universitarios o de introducción de posgrado a nivel de público como una especie de "segundo curso de teoría de números." Me estoy imaginando un libro de texto como Serre del Curso en la Aritmética.

Answer 1

Si quieres ir más lejos en la comprensión de este punto de vista, yo le aconsejo que para empezar a aprender campo de la clase de teoría. Es un tema profunda, que puede ser entendido en una gran variedad de formas, desde la muy concreta de la primaria y a la muy abstracto, y aunque superficialmente parece estar limitada a la descripción de abelian la reciprocidad de las leyes, es, de hecho, juega un papel crucial en el estudio de la no-abelian reciprocidad leyes.

Los textos:

Irlanda y Rosen básicos de la teoría algebraica de números, un Galois de la teoría de la prueba de la reciprocidad cuadrática, y otras obras de interés.

Cox, el libro de los números primos de la forma x^2 + n y^2 para una indicación de lo que algunos de los contenidos de la clase de teoría de campo es en la escuela primaria términos, a través de muchos ejemplos maravillosos.

Serre Local de Campos para el aprendizaje de la teoría de Galois de los campos locales

Cassels y Frolich para el aprendizaje global de la clase de teoría de campo

El libro estándar en el nivel de postgrado para aprender la aritmética de no abelian (al menos 2-dimensional) la reciprocidad de las leyes es Modular las formas y el Último Teorema de Fermat, un libro de texto en la prueba por Taylor y Artimañas de la FLT. Pero en un nivel más alto de nuevo.

No creo que usted encontrará un texto único sobre este tema en un nivel básico (si básicos significa Curso de aritmética o de Irlanda y Rosen), porque no hay mucho que decir más allá de lo que indica en su pregunta sin entrar en la teoría de curvas elípticas y/o la teoría de las formas modulares y/o una discusión seria de campo de la clase de teoría.

También, como básica sugiere, usted puede hablar con los estudiantes de posgrado en tu ciudad, si no en la institución, luego en el otro abajo del río Charles, que como usted probablemente sabe, es actualmente el centro mundial para la investigación sobre la no-abelian reciprocidad leyes (tal vez compartida con París). Ciertamente hay cursos de posgrado ofrecidos en este tema hay sobre una base regular.

Answer 2

En el 1-dimensional caso estamos hablando de la clase de teoría de campo, y no recuerdo haber visto algo mejor que la de Cox libro (ya mencionado por Emerton) en esta dirección (licenciatura etc.). Con Artin la ley de la reciprocidad (el papel central de la Frobenius elementos en relación con la reciprocidad de las leyes no era exactamente mantenido en secreto 8 -), bajo el cinturón, usted puede ser que desee comprobar hacia fuera

• G. Shimura, Una reciprocidad en la ley no solucionable, extensiones, J. Reine Angew. De matemáticas. 221, 209-220 (1966)

y

• J. Velu, Lois de reciprocite liees aux courbes elliptiques, Semin. Delange-Pisot-Poitou, 14e annee 1972/73, Fasc. 1, 2, Exponer 9, 5 p. (1973)

ambos de los cuales son bastante agradable para leer, y luego continuar con los artículos de Serre y Swinnerton-Dyer que Emerton sugerido (en realidad fueron motivados por los problemas concretos que atañen Ramanujan $\tau$-función, y se ha escrito bastante sobre esto en este momento).