¿$SO(3)$ Tiene un subgrupo abierto no trivial? (Grupo$SO(3)$ con matrices habituales producto, es todo$3\times 3$ matrices cuyo determinante es 1 y para cada elemento$A\in SO(3)$ #% Y también dejar que su norma sea una norma de operador, es decir, la norma de mapeo lineal$A^tA=AA^t=I_3$ que indujo la topología en$A:R^3\rightarrow R^3$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Obsérvese que los subgrupos abiertos también están cerrados (ya que todos los conjuntos están abiertos, cualquier coset, siendo el complemento de la unión de los otros conjuntos, también está cerrado). Así que estaríamos hablando de un subgrupo que está abierto y cerrado. Pero$SO(3)$ está conectado; De hecho es un espacio cociente$S^3/\{1, -1\}$ de la unidad de cuaterniones, que está conectado a sí mismo. Por lo tanto, no hay subgrupos abiertos no triviales.
