¿Error en un examen de calificación de análisis complejo?

Question

Deje $f(z) = \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n$$\left| z \right| < R$.

El problema como se indica.

Para todos $r < R$, $$\int_{\left\{ |z| = r \right\}} \left| f(z) \right|^2 \, dz = 2\pi \sum_{n=0}^\infty \left| c_n \right|^2 r^{2n}. $$

Lo que yo creo que la declaración debe ser.

Para todos $r < R$, $$\int_{\left\{ |z| = r \right\}} \frac{\left| f(z) \right|^2}{iz} \, dz = 2\pi \sum_{n=0}^\infty \left| c_n \right|^2 r^{2n}. $$

Básicamente, creo que el profesor se olvidó de la cuenta para el derivado $\gamma^\prime(t) = ire^{it}$ que entra en el integrando, cuando calculamos la integral sobre la $[0, 2\pi]$.

Pregunta. Estoy en lo cierto?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, la primera fórmula es incorrecta ya que cuando$f(z)=1$ la integral es cero y no$2\pi$ como sugiere la fórmula.

Además, aquí hay una prueba de que la segunda fórmula que he sugerido da el resultado correcto.

Dejar $\gamma(t) = re^{it}$. Entonces

\begin{align} \int_\left\{ \left| z \right| = r \right\} \frac{\left| f(z) \right|^2}{iz} dz &= \int_0^{2\pi} \left( \sum_{n=0}^\infty c_n r^n e^{i n t} \right) \left( \sum_{m = 0}^\infty \overline{c_m} r^m e^{-i m t} \right) dt \\ &= \sum_{i = 0}^\infty \sum_{n + m = i} c_n \overline{c_m} r^i \int_0^{2\pi}e^{i(n-m)t} dt \\ &= 2\pi \sum_{n = 0}^\infty \left| c_n \right|^2 r^{2n} \end {align} según lo reivindicado. Las igualdades se justifican esencialmente por el teorema de Cauchy junto con el hecho de que la serie de potencia$f(z)$ converge absolutamente dentro de su radio de convergencia.