Sea F un campo de orden 32. Muestre que los únicos subcampos de F son F y {0,1}.

Question

$F$ Es un campo de orden$32$. $F$ Y {$0,1$} son subcampos triviales de$F$.

Pero, ¿cómo podemos mostrar que estos son los únicos subcampos de$F$? ¿Puede alguien darme una dirección a esta pregunta?

Answer 1

De manera más general, un campo con elementos$p^n$ contiene un subcampo con$p^m$ elements iff$m$ divide$n$.

En su caso, tenemos$p=2$ y$n=5$, que no tiene divisores no triviales.

Aquí hay una prueba de una dirección, la que se refiere a la pregunta:

Si un campo$F$ tiene$p^n$ elementos y contiene un subcampo$K$ con elementos$p^m$,$F$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre$K$ Y así$p^n=(p^m)^d=p^{md}$, donde$d$ es la dimensión de$F$ sobre$K$.

Answer 2

Sugerencia: si$K$ es un subcampo de$F$, entonces en particular,$K^*$, el grupo multiplicativo de$K$ debe ser un subgrupo de$F^*$