¿Hay$(X,\mathcal{T})$ contractible,$\mathcal{T}'\subseteq\mathcal{T}$ tal que$(X,\mathcal{T}')$ no es contractible?

Question

Deje $(X,\mathcal{T})$ ser un contráctiles espacio y deje $\mathcal{T}'\subseteq\mathcal{T}$ ser más grueso de la topología en $X$$\mathcal{T}$. Es cierto siempre que $(X,\mathcal{T}')$ es también contráctiles?

Dudo mucho que este es el caso, porque intuitivamente, si esto fuera cierto, entonces se debe trabajar con el mismo homotopies para $\mathcal{T}'$ $\mathcal{T}$ debido a la generalidad de la declaración (me refiero a que, dada la generalidad, no podemos adaptar el homotopy equivalencias para $(X,\mathcal{T})$ en una manera que tenga sentido), pero no hay absolutamente ninguna razón para $F:X\times I\to X$ todavía continua si equipamos a $X$ $\mathcal{T}'$ en lugar de $\mathcal{T}$.

Sin embargo, no puedo venir para arriba con un contraejemplo; los ocho topologías sé que en $\mathbb{R}$ no se proporcionan. ¿Puede dar un ejemplo elemental donde esta la falla?

Answer 1

Stefan me pegaba a el (mismo) respuesta, pero creo que vale la pena tener una explicación diferente sobre la contractibilidad, el uso de la homotopy teoría de espacios finitos.

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Jugando con finito de espacios, creo que he encontrado un ejemplo. Por desgracia, no creo que se produce "en la práctica".

Deje $X = \{a, b, c, d\}$ ser un cuatro de punto de ajuste. Deje $\mathcal{T}$ ser la topología generada por la base de $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a, b, c\}$, y $\{b, d\}$, y deje $\mathcal{T}'$ ser la topología generada por la base de $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a, b, c\}$, y $\{a, b, d\}$. Es fácil comprobar que $\mathcal{T}' \subsetneq \mathcal{T}$.

Yo reclamo que $(X, \mathcal{T})$ es contráctiles. Existe una clasificación de la homotopy tipo finito de espacios por parte de sus núcleos. Véase el capítulo 2 de Pedro de Mayo finito de espacios libro para una explicación de este y la terminología que voy a emplear. De todos modos, para $(X, \mathcal{T})$, el punto de $d$ es un pesimista de punto, presenciado por $b$. Así que hay una deformación retractarse de $(X, \mathcal{T})$ a $(\{a,b,c\}, \mathcal{T}|_{\{a,b,c\}})$. Pero este último espacio es la (no-Hausdorff) cono en $S^0 = \{a,b\}$. Así es contráctiles. Otra forma de ver esto es que el $c$ es de un máximo elemento de la asociada poset.

Por otro lado, $(X, \mathcal{T}')$ es la (no-Hausdorff) suspensión en $S^0 = \{a,b\}$, que es débilmente homotopy equivalente a $S^1$. Así que no es contráctiles. Alternativamente, tenga en cuenta que $(X, \mathcal{T}')$ es mínima finito, así que es su propio núcleo. Desde su núcleo no es un punto, $(X, \mathcal{T}')$ no contráctiles.

Answer 2

Creo que he encontrado un ejemplo de dos topologías en un espacio de $X$ tal que $X$ con la más fina que la topología de la contráctiles, pero con el grueso de la topología no es. Este ejemplo fue inspirado por el pseudocircle $P$, que es el conjunto de $X = \{a,b,c,d\}$ con la topología $$ \mathcal T = \{ X \{a\},\{b\},\{a,b\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\} \} $$ Este espacio puede ser obtenido desde el círculo de $S^1$ mediante la identificación de los bloques abiertos $\{(x,y)\mid x<0\}$ $\{(x,y)\mid x>0\}$ a los puntos de $a$$b$, respectivamente. Desde $P$ es cubierto por el open conjuntos de $\{a,b,c\}$$\{a,b,d\}$, la elección de $a$ $b$ como base de puntos nos permite aplicar el Seifert teorema de van Kampen para groupoids, a partir de la cual podemos ver que $P$ ha fundamentales del grupo isomorfo a $\mathbb Z$ (véase, por ejemplo, la Topología y la Groupoids por Ronald Brown).

A partir de la pseudocircle, he probado a hacer la topología ligeramente más fino, y de esta manera obtener un contráctiles espacio. La siguiente modificación de $\cal T$ parecía prometedor $$ \mathcal T' = \mathcal T \cup \{\{b,d\}\} $$ La intuición fue cortado $P$$a$$d$, por lo que se convierte en lo que podríamos llamar una "pseudointerval". Se puede ver como el exterior de los vértices de la imagen siguiente

con la pone en amarillo la formación de una base para $\cal T'$. La imagen también muestra cómo una retracción homotopy $H$ $c$parece: Cada borde de una capa exterior de punto de $p$ a el punto en el centro representa el subespacio $\{p\} \times I$$X \times I$, y el color que muestra el valor que $H$ asume. Como se puede ver, $H$ se fija en el punto de $c$, mientras que todos los demás se desplaza a lo largo de un camino hacia la $c$, $d$ pasando a través de $b$ en su camino. Si yo no pierda nada, esta debe ser la deformación de retracción de nuestro espacio a $c$.