Sea$G$ un grupo de orden$125$. ¿Tiene un subgrupo de orden$25$? Para cualquier grupo abeliano, la respuesta es sí. Pero ¿qué pasa con los grupos no abelianos? No puedo entender. ¿Alguien puede ayudarme?
Respuestas
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Abhishek Bhat
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33
Sylow del Primer Teorema: Vamos a $G$ ser un grupo finito y $p$ ser una de las primeras. A continuación, para cada una de las $p^k$ división $|G|$, $G$ tiene un subgrupo de orden $p^k$.
De esto se sigue directamente que, $G$ tiene subgrupos de orden $5$$5^2=25$.
Yo también quiero que tenga en cuenta las siguientes observaciones y demostrar los siguientes resultados en forma de práctica de ejercicios.
Resultado 1: El centro de un Grupo nunca es un subgrupo maximal.
Resultado 2: Si $|G|=p^k$ donde $p$ es primo, a continuación, $G$ tiene un no-trivial centro.
A partir de los resultados anteriores, podemos decir que el $|Z(G)|=5$.
Lorban
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322
Grupos con el fin de una potencia de un primo (es decir, $p$- grupos) tienen la
Propiedad: tener un normal subgrupo de orden $d$ por cada $d$ que divide al orden del grupo.
Esto no es una coincidencia, de hecho, un finito $p$-grupo es nilpotent y finito nilpotent grupos se caracterizan por la mencionada propiedad (recuerde que finito nilpotent grupos son producto directo de su $p$-subgrupos de Sylow). Esto no es cierto si nos relajamos a nilpotency de solvencia ( $S_3$ $p=2$).
Si no nos preocupamos acerca de la normalidad, podemos preguntarnos si un grupo de $G$ tiene un subgrupo de orden $d$ por cada $d$ que divide $|G|$. Este llamado CLT propiedad (es decir, Converso del Teorema de Lagrange) que ha sido ampliamente estudiado. Para este tema, esta pregunta es relevante. En particular, una mínima subgrupo normal de un supersolvable grupo debe disponer de primer orden y por inducción sobre el cociente se puede demostrar que los "supersolvable" $\implies$ CLT. Por último, un grupo de $G$ que es CLT, en particular, tiene un $p$-complemento (es decir, un subgrupo de índice de igualdad de la orden de un $p$-Sylow) para cada $p$ prime que divide $|G|$, y es solucionable por el contrario de la Sala del Teorema.
