Deje que $G$ ser un grupo topológico, $B \subseteq G$ Borel y $C \subseteq G$ cerrado.
¿Es cierto que $BC$ es Borel?
Debido a que la multiplicación izquierda y derecha son homeomorfismos, debería bastar con probar esto por separado para $B$ abierto o cerrado.
Supongamos que $B$ está abierto, entonces
\begin {ecuación} BC = \bigcup \limits_ {c \in C} Bc = \bigcup \limits_ {c \in C} \rho_c (B) \end {ecuación}
donde $ \rho $ denota la multiplicación correcta. Así que si $B$ está abierto $BC$ también está abierto y por lo tanto obviamente Borel.
Ahora, ¿qué pasa cuando $B$ está cerrado? Sé que el producto de dos conjuntos cerrados no es necesariamente cerrado (para eso un factor tiene que ser compacto), pero ¿qué hay de Borel?
Sospecho que no funcionará en general (¡estaré encantado de que se demuestre lo contrario!), por lo que hay que recurrir a la compactación $B$ en lugar de las cerradas.
Sin embargo, estos deberían ser suficientes en Hausdorff $ \sigma $ -grupos topológicos compactos.
