El número de clase de la fórmula, el BSD conjetura, y la de Kronecker límite de fórmula

Question

Si K es un campo de número, a continuación, el Dedekind zeta función Zeta_K(s) puede ser escrita como una suma de más ideal de las clases de Una de Zeta_K(s, A) = suma de ideales que en Una de 1/N(I)^s. El número de clase de la fórmula de la siguiente manera a partir del cálculo de los residuos de la (simple) de un polo de Zeta_K(s) en s = 1 (que resulta ser independiente de Una).

Sea E/Q ser una curva elíptica. Uno podría tratar de probar que (fuerte) de Birch y Swinnerton-Dyer conjetura para la E/P de modo análogo: tratando de definir L-funciones L(E/Q, a, s) para cada Una en la Tate-Shafarevich grupo, escribiendo L(E/Q, s) como una suma de funciones zeta L(E/Q, a, s), donde Una rangos de los elementos de Sha, a continuación, tratando de calcular el primer nonvanishing Taylor coeficiente de L(E/Q, a, s) en s = 1.

Ha habido trabajo en la dirección de definir la zeta de funciones L(E/Q, a, s)? Si es así, ¿cuáles son algunas de las referencias y/o ¿qué tal zeta funciones de llamada?

También, tomar K para ser cuadrática, no es sólo una fórmula para la primera nonvanishing Laurent coeficiente de Zeta_K(s) (el número de clase de la fórmula), pero hay una fórmula para la segunda nonvanishing Laurent coeficiente de Zeta_K(s) (procedente de la determinación de la segunda nonvanishing Laurent coeficiente de Zeta_K(s, A) - algo que no es independiente de K - esto es, la de Kronecker límite de la fórmula). ¿El Kronecker límite de fórmula tienen una conjetural analógica para la L la función de adjunto a una curva elíptica sobre Q?

Una menos nítida pregunta: ¿hay alguna idea en absoluto en cuanto a si alguno de los coeficientes de Taylor más allá de la primera a de L(E/Q, s) se expandió sobre s = 1 sistemático de la aritmética importancia?

Answer 1

No es una gran respuesta, pero algunos comentarios que espero que empujar en la dirección correcta.

Para un campo de número de $K$, naturalmente, hay un número finito de dimensiones complejas espacio vectorial asociado a la misma, a saber, el espacio generado por los personajes de el grupo abelian $Gal(H/K)$ $H$ Hilbert campo de la clase de $K$. Cada personaje tiene un $L$-función, y se puede utilizar estos caracteres todos juntos para analizar el $L$-función del carácter trivial (a través de un análisis de las combinaciones lineales de las $L$-funciones de todos los personajes, algo que podría ser más manejable). Que es una especie de interpretación de sus comentarios sobre la función zeta de $K$. EDIT: Fundamentalmente, este espacio tiene una interpretación en términos de automorphic formas en $GL(1,K)$, por lo que el $L$-son funciones se porta muy bien y sabemos algo acerca de ellos.

Para una curva elíptica $E$, incluso si su Tate-Shaferevich grupo es de orden mayor que 1, sólo puedo ver (en la teoría de automorphic formas), un 1 dimensiones del espacio, es decir, el espacio generado por los newform correspondiente a $E$. También se puede buscar en oldforms pero estos no dan ninguna nueva aritmética de la información.

En particular, a pesar de que puede ver los grupos de la clase en la teoría de la automorphic formas, yo no puedo ver a Tate-Shaferevich grupos, y por lo tanto no veo cómo se podría formular un buen candidato para $L(E/Q,A,s)$. Si alguien pudiera explicar eso, sería un gran comienzo.

Algunos de los más comentarios negativos, aunque---las dos teorías tienen otras diferencias. Por ejemplo, el $L$-función de la curva de fuga en$s=1$, mientras que el $L$-en función de que el campo tiene un polo. Argumentos como "yo tengo un polo, y todas estas otras funciones que no, así que cuando añada todos nosotros que tenemos un polo" no funcionan si se reemplaza la "pole" por "cero". También, en cierto sentido, la razón de una función como $1^{-s}-3^{-s}+5^{-s}+\ldots$ no tiene un polo en $s=1$ es porque la suma es convergente para la parte real de la $s$ más grande que 1, y usted puede ver lo que está sucediendo como $s$ tiende a 1. Las sumas involucradas para curvas elípticas sólo convergen para la parte real de la $s$ más grande que la de $3/2$, por lo que podría ser más difícil para llegar desde allí a $s=1$ (aunque si eres "automorphic", a continuación, este problema podría no ocurrir).

En cuanto a la segunda pregunta, he visto decente matemáticos dicen que no hay aritmética importancia en términos de orden superior después de la primera. Como usted señala, esta afirmación es incorrecta (incluso para el clásico, zeta función: $\zeta(0)\not=0$ pero $\zeta'(0)=\log(1/\sqrt{2\pi})$) pero nunca he visto una fantasía $K$-teoría o cualquier interpretación de este, por lo que no tienen idea de lo que está pasando.

Answer 2

La siguiente observación sugiere que tal vez la analogía entre los grupos de la clase y Tate-Shafarevich grupos no está tan cerca como se puede creo que, y que, al menos en el cuadrática caso, el derecho es objeto de el grupo de los ideales de las clases modulo plazas.

Deje $Q_0$ denotar el principal binario de forma cuadrática con discriminante $d$, y deje ${\mathcal P}: Q_0(X,Y) = 1$ ser el asociados Pell cónica. Para cada potencia principal $q = p^r$, denotan el número de ${\mathbb F}_q$-puntos racionales en ${\mathcal P}$ por $q - a_q$; es fácil comprobar que $a_q = \chi(q)$, donde $\chi = (\frac{d}{\cdot})$ es la cuadrática con carácter conductor de $d$.

Definir el local zeta de la función en $p$ como el poder formal de la serie $$ Z_p(T) = \exp\Big(\sum_{r=1}^\infty N_r \frac{T^r}r \Big), $$ donde $N_r$ indica el número de ${\mathbb F}_q$-puntos racionales en ${\mathcal P}$. Un simple cálculo muestra que $$ Z_p(T) = \frac{1}{(1-pT)(1-\chi(p)T)}. $$

Set $P_p(T) = \frac1{1 - \chi(p)T} $ y definir el global$L$ -, como la serie de $$ L(s,\chi) = \prod_p P_p(p^{-s}). $$ Este es el clásico de Dirichlet de la serie L, que jugó un papel importante en la Dirichlet de la prueba de los números primos en una progresión aritmética, y fue casi inmediatamente demostrado ser conectado a el número de clase de la fórmula.

Los grupos de la clase no se producen en la imagen de arriba; al igual que sus hermanos mayores, el Tate-Shafarevich grupo, están relacionadas con el objeto global nos comenzamos con: la Pell cónica. La integral de puntos en los afín Pell forma cónica de un grupo, que actúa (en un más o menos de manera obvia - pensar de integral puntos como unidades en algunos cuadrática número de campos) en la puntos racionales de curvas de la forma $$ Q(x,y) = 1, $$ donde $Q$ es una primitiva binario de forma cuadrática con discriminante $d$. Esta acción hace que el $Q$ a un director de espacio homogéneo ("sobre la enteros"), y la habitual acción de SL$_2({\mathbb Z})$ en cuadrática formas aspectos de esta estructura. Las clases de equivalencia de dichos espacios forma un grupo con respecto a la toma de la Baer suma, que coincide con el clásico de Gauss composición de formas cuadráticas.

Principales espacios homogéneos con un integrante del punto son triviales en el sentido de que son equivalentes a los de la Pell cónica ${\mathcal P}$. El espacios con un punto local en todas partes (es decir, con puntos racionales) formulario un subgrupo Sha isomorfo al grupo $Cl^+(d)^2$ de los cuadrados de las clases. La definición de Tamagawa números para cada uno de los prime $p$ $c_p = 1$ o $=2$ de acuerdo como $p$ es coprime a $d$ o no, nos encontramos con que la costumbre de la clase número (en sentido estricto) es el orden de Sha veces el producto de todos Tamagawa números (el último es el doble de la de género número de clase).

Ahora podemos utilizar de Dirichlet del número de la clase fórmula para demostrar el BSD conjetura de cónicas: $$ \lim_{s \to 0}^{- r} L(s,\ji) = \frac{2h}{w} = \frac{|Sha| \cdot R^+ \cdot \prod c_p} {| {\mathcal P}({\mathbb Z})_{.}|}. $$ Observar que $R^+$ indica que el regulador de la Pell cónica, es decir, el logaritmo de los más pequeños totalmente positiva unidad $> 1$.

La prueba de Dirichlet del número de clase de la fórmula utiliza el grupo de clase, que es un grupo que contiene el Sha como un cociente, y un grupo relacionado con el Tamagawa los números como un subgrupo. Queda por ver si tal grupo existe en la elíptica caso.

Podría ser posible para hacer avanzar sin tener un grupo: en el caso de Pell cónicas, funciones zeta ideal de las clases, si recuerdo correctamente, estrechamente relacionado con la serie definida por sumando sobre todos los $1/Q(x,y)^s$ para los números enteros $x$, $y$. La pregunta sigue siendo cómo imitar una construcción para el género 1 curvas en representación de los elementos en el Sha.

Observación: El Tamagawa números puede ser definida como un determinado $p$-ádico integrales; ver una tesis de maestría sin publicar (en Japonés) por A. Iwaomoto de Kyoto, 2005. Para obtener más información sobre el de arriba, ver aquí.

Para las ideas que apunta en una dirección diferente, ver

• D. Zagier, El Abedul-Swinnerton-Dyer conjetura de un ingenuo punto de vista, Prog. De matemáticas. 89, 377-389 (1991)

Answer 3

Hola Jonás,

El punto clave en la demostración de la clase número de fórmula es una descomposición de la Dedekind zeta función como una suma de funciones zeta de los ideales de las clases; como bien sabes, estos tienen residuos independiente de los ideales de la clase y hay h(K) de ellos. Por el contrario, la definición de una curva elíptica L-función no hace ninguna referencia real a la Tate-Shafarevich grupo, aunque de forma implícita. Recuerde, la T-S del grupo clasifica a los "principales espacios homogéneos" para el Correo, género una de las curvas de C/P con una libremente transitiva acción de E, pero sin ningún punto definido a lo largo del P. no puedo imaginar una forma de romper con la L-función de separar en piezas correspondientes a los elementos de la T-S del grupo. Y lo mismo ratonero comentario sobre cómo ceros comportan de manera diferente a los polos al agregar funciones.

Answer 4

Me disculpo por adelantado por lo que apenas un par de superificial comentarios. Estos son:

1. La pregunta no es interesante. Sólo porque Sha no aparece en la definición de L fácilmente, no hay ninguna razón por la que uno no debe preguntar acerca de las manifestaciones más fundamental que el de costumbre.

2. Un enfoque podría ser la de pensar acerca de la p-ádico L-función en lugar de la complejidad. Estoy lejos de ser un experto en este tema, pero la algebraicas L-función se supone que es un elemento característico de una doble Selmer grupo sobre algunos de los grandes de la extensión del campo de tierra. La Selmer grupo (en el campo de tierra) por supuesto que no se rompen en cosets indexados por el Sha. Quizás habría que examinar cuidadosamente los documentos de Rubin, donde varias versiones de la Iwasawa principales conjeturas se han demostrado para la CM curvas elípticas.]

Agregó, 8 De Julio:

Esta vieja pregunta vino de nuevo a mí hoy y me di cuenta de que me había olvidado de hacer una bastante obvia observación. Sin embargo, todavía no voy a responder a la pregunta original.

Usted ve, en vez de la $L$-en función de una curva elíptica $E$, se puede considerar que la función zeta $\zeta({\bf E},s)$ regular de un modelo de un mínimo de ${\bf E}$$E$, lo que, en cualquier caso, es el mejor análogo de la Dedekind zeta función. Una definición de esta función zeta es dado al producto $$\zeta({\bf E},s)=\prod_{x\in {\bf E}_0} (1-N(x)^{-s})^{-1},$$ donde ${\bf E}_0$ denota el conjunto de puntos cercanos de ${\bf E}$ $N(x)$ cuenta el número de elementos en el residuo de campo en $x$. No es difícil comprobar la expresión $$\zeta({\bf E},s)=L(E,s)/\zeta(s)\zeta(s-1)$$ en términos de la habitual $L$-y la función de Riemann zeta función.

La expansión de productos, que converge en una media de avión, también se puede escribir como una serie de Dirichlet $$\zeta({\bf E},s)=\sum_{D}N(D)^{-s},$$ donde $D$ ahora se ejecuta a través de la efectiva cero ciclos en ${\bf E}$. De esta forma, usted puede ver la descomposición $$ \zeta({\bf E},s)=\sum_{c\in CH_0({\bf E})}\zeta_c({\bf E},s), $$ de una manera totalmente análoga a la Dedekind zeta. Aquí, $CH_0({\bf E})$ denota el racional de clases de equivalencia de cero ciclos, y ahora tenemos el parcial de los zetas $$\zeta_c({\bf E},s)=\sum_{D\in c}N(D)^{-s}.$$ Es un hecho que $CH_0({\bf E})$ es finito. Me olvide por desgracia para quienes esto es debido, a pesar de la extensión arbitraria de los esquemas de finito de tipo más de $\mathbb{Z}$ puede ser encontrado en los papeles de Kato y Saito.

No es del todo descabellado pedir en este punto, si el grupo $CH_0({\bf E})$ está relacionado con $Sha (E)$. Al menos, esta formulación parece dar a la pregunta original, alguna estructura adicional.

Agregó, 31 De Julio De 2010:

Esta pregunta se volvió aún más cuando me di cuenta de dos errores, que voy a corregir de forma explícita ya que ese tipo de cosas puede ser muy confuso para los estudiantes. La expresión para la función zeta en términos de $L$-funciones anteriormente, se debe invertir: $$\zeta({\bf E},s)=\zeta(s)\zeta(s-1)/L(E,s).$$ El segundo error es un poco más sutil y probablemente para causar aún más confusión si no se corrige. Para este preciso igualdad, ${\bf E}$ tiene que ser el de Weierstrass minimal modelo, en lugar de la regular modelo mínimo. Espero que la tengo ahora.