Cuando se hace el nudo de la teoría hacia el final de mi topología algebraica curso, se define a menudo los nudos como incrustaciones de $S^1$ $S^3$ en lugar de $\mathbb{R}^3$. Mi profesor justifica esto diciendo que la $S^3$ es sólo $\mathbb{R}^3$ con un punto añadido al infinito, que estoy de acuerdo con, pero ella no ayuda con cualquiera de las pruebas que hicimos. Él dijo: $S^3$ es compacto que hace que sea agradable, pero no vi este 'amabilidad' mostrar en cualquier lugar. Puedo ver que casi cada nudo en $S^3$ corresponde a un nudo en $\mathbb{R}^3$, a excepción de los nudos que pasan a través del punto del infinito. Podría alguien darme un ejemplo de donde nudos incrustado en una superficie compacta, era más útil o conveniente de su incrustación en $\mathbb{R}^3$?
Respuesta
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Los nudos son estudiados hoy en día el uso de la geometría.
En particular, es importante saber si un nudo es hiperbólica, lo que significa que su complemento en $S^3$ tiene una hiperbólica completa de métricas de volumen finito (esta propiedad no tendría sentido para el complemento de nudo en $\mathbb{R}^3$, que nunca tiene un hiperbólica completa de métricas de volumen finito).
En la década de 1970, Troels Jorgensen y Bob Riley producido ejemplos de hiperbólico nudos.
En el finales de los años 1970, William Thurston completamente caracterizada hiperbólico nudos en simples términos topológicos, que fue parte de una revolución en 3 dimensiones geométricas de la topología de que él inició.
