¿Por qué se diferencia la analogía entre elecromagnetism y general de la relatividad si se consideran como teorías o paquetes de la fibra?

Question

Electromagnetismo y relatividad general tanto puede ser considerado como indicador de las teorías, casos en los cuales existe un natural analogía entre ellos:

(Estrictamente hablando, el medidor de simetría de diffeomorphism la invariancia de la métrica $g_{\mu \nu}$ se reduce al mundial de simetría $\phi(x) \to \phi(x) + \text{const.}$ en el límite Newtoniano.)

Las teorías pueden también ser considerados como las conexiones de los haces de fibras, en cuyo caso no es diferente natural analogía entre ellos:

Aquí (respiración profunda) $A_\mu = A$ es la electromagnética vector potencial, $g_{\mu \nu}$ es la métrica, $\phi$ es el potencial gravitacional Newtoniano campo, $F_{\mu \nu} = F$ es la intensidad del campo electromagnético del tensor, $\Gamma^\mu_{\nu \rho}$ es la conexión de Christoffel, ${\bf g}$ es el campo gravitacional Newtoniano, $J^\mu$ es el eléctrico de cuatro actuales, $G_{\mu \nu}$ es el tensor de Einstein, $T_{\mu \nu}$ es el estrés de la energía del tensor, $\rho$ es la espacial de la densidad de la masa, $L$ es sinónimo de "longitud", y $R_{\mu \nu \rho \sigma}$ es la curvatura de Riemann tensor (¡uf!).

Por desgracia, como se señaló en el análisis Dimensional de tensor métrico, estas dos analogías no coinciden! La electromagnético de cuatro posibles $A_\mu$ y el campo de fuerza del tensor $F_{\mu \nu}$ corresponde a la métrica de $g_{\mu\nu}$ y la conexión de Christoffel $\Gamma^\mu_{\nu \rho}$, respectivamente, en la primera analogía, y para la conexión de Christoffel y Riemann tensor de curvatura $R_{\mu \nu \rho \sigma}$, respectivamente, en el segundo. Esto no parece correcto - no hay duda de que debe ser una sola formulación unificada de cada teoría en la que el calibre de la teoría y de fibra paquete historias son naturalmente compatibles. Entonces, ¿qué diablos está pasando?

Answer 1

Hay una estructura adicional en juego aquí. Dependiendo del nivel que usted está buscando, esto es el hecho de que la tangente de conexión de $\nabla$ admite el intercambio de argumentos (si $\nabla_XY$ está bien definido, entonces también lo es $\nabla_YX$), o que hay una soldadura de forma $\theta$ sobre el princpal de paquete de cuadros de GR, mientras que no hay tales de soldadura formulario para la conexión en EM.

En cualquier caso, ambos de estos significa que hay una diferencia entre el indicador de simetrías.

• Para locales de Lorentz simetrías, la diferencia es que el local de la simetría de Lorentz es un "externo" a la simetría, mientras que el $U(1)$ simetría es una interna. Podemos convertir a los "externos" simetría en una interna que, precisamente, por el uso de vielbeins: $A^a=A^\mu\theta^a_\mu$. Pero entonces tenemos que encontrar la dinámica de las vielbein $\theta^a_\mu$. Este vielbein es, precisamente, la aparición local de la mencionada soldadura formulario.

• Para diffeomorphism simetrías, esto es totalmente diferente. El local de Lorentz de la simetría y la $U(1)$ simetría son tanto localizable. Usted puede hacer un LL de transformación o de una $U(1)$ transformación en un punto. Usted no puede hacer un diffeo en un punto. Yo no soy un experto en esto poco, francamente, me han gustado cuando la gente dice que g es una teoría de gauge con $\text{Diff}(M)$ siendo el grupo gauge. Seguro, usted puede mirar de esa manera, pero eso va a crear una diferencia irreconciliable con la $U(1)/SU(2)/SU(3)$ calibre de las teorías del modelo estándar.

El sólo algo lenguaje unificado es cuando se considera el grupo gauge a ser el grupo de Lorentz. Por otra parte, la existencia de spinor campos también parecen preferir el grupo de Lorentz interpretación.

Si usted quiere algunos profundo respuesta, no puedo dar uno. No es una violación de este calibre analogía precisamente debido a la simetría de Lorentz es un espacio-tiempo de la simetría.

Una simetría interna con el grupo gauge $G$ le dará una conexión de $D$ que actúa sobre las secciones de los asociados vector de paquetes (asociada a la directora $G$-bundle en el que la relación de sus vidas).

El hecho de que este es un $G$-conexión en lugar de a $GL(k,\mathbb{C})$-conexión es debido a la forma de Lagrange para el asunto de campo se suele consistir en una fibra métrica (para escalar QED, este es el "producto interior" $q(\phi,\phi)=\phi^\dagger\phi$), generalmente de un Hermitian métrica, que, porque queremos que la conexión métrica compatible, resultado en $GL(k,\mathbb{C})$ ser reducible a algún grupo unitario.

A continuación, especifique una de Lagrange para la conexión demasiado, porque debe ser una dinámica de campo (para unitaria de las conexiones, este es el Yang-Mills de Lagrange), y luego tenemos nuestra clásica teoría de gauge.

Por la gravedad, primero necesitamos un vielbein, para hacer el exterior de la simetría interna. El vielbein necesita tener dinámica, ya que de lo contrario ¿cómo podría usted especificar? Pero vamos a ignorar esto por ahora. Ahora tenemos una interna de Lorentz-simetría, con la métrica de fibra de $\eta$, por lo que tenemos una $\eta$compatible con la conexión.

Tenemos que especificar la dinámica de ambos $\theta^a_\mu$$\omega^{\ a}_{\mu\ \ b}$. Métrica de compatibilidad y torsionlessness impone $\omega$ debe ser nondynamical, así que necesitamos para cocinar una de Lagrange para $\theta$. Pero Ostrogradsky inestabilidad obliga a mirar de segundo orden ecuaciones de campo, por lo que la curvatura (de segundo orden de la expresión) no puede ser una dinámica variable$^*$ (a diferencia de Yang-Mills, donde el Ostrogradsky inestabilidad no evitar esto, ya que la curvatura es de primer orden).

Incluso si usted no trate de hacer cumplir la compatibilidad y torsionlessness, eso no va a cambiar nada. Si exigir torionlessness, pero no de compatibilidad, luego de llegar Palatini-formalismo, lo cual es equivalente. Si usted no hace cumplir torsionlessness, se obtiene diferencias (Einstein-Cartan teoría) que sólo spinors sentir. Incluso entonces, usted no puede deshacerse de $\theta$ como la "posibilidad" de la teoría.

La conclusión es, la vielbein es necesario una dinámica de objetos para llegar a la gravedad, y las ruinas de la analogía.

*: Al decir que la curvatura no puede ser dinámico, me refiero a que no aparecen en las ecuaciones de campo en forma diferenciada.

Answer 2

Las analogías presentadas en la pregunta, creo yo, imperfecto. Estoy de acuerdo con Weinberg, como se mencionó en @tparker la respuesta, que la analogía entre los símbolos de Christoffel ($\Gamma^\nu_{\mu\sigma}$) y el Medidor de potencial ($A_\mu$). Este paralelo se hace más evidente si se compara la gravedad con que no abelian medidor de teorías y no suprimir el grupo de índices. En particular, comparar la covariante derivados (aplicado a "rango 1" tensores, para la concreción): \begin{align} [D_\mu]^i_{\hphantom{i}j} &= \delta^i_{\hphantom{i}j} \partial_\mu - i g [A_\mu]^i_{\hphantom{i}j} \\ [\nabla_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} & = \delta^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} \partial_\mu + [\Gamma_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma}. \end{align} Tenga en cuenta que he modificado notación estándar para ambos elementos. He modificado el Yang-Mills notación para incluir una distinción entre si los índices son hacia arriba o hacia abajo. He cambiado el GR derivada covariante para separar el índice que define la dirección en la que transporte paralelo que está sucediendo ($\mu$) de los que se describe la transformación del vector a lo largo de la ruta ($\nu$, $\sigma$).

Dicho de otro modo, los vectores de la base de los espacios vectoriales en un punto en el espacio-tiempo, $x^\mu$, está relacionado con los vectores de la base en un punto de $x^\mu + \operatorname{d}x^\mu$ a de primer orden: \begin{align} \delta^i_{\hphantom{i}j} & + ig [A_\mu(x)]^i_{\hphantom{i}j} \operatorname{d}x^\mu \\ \delta^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} & - [\Gamma_\mu]^\nu_{\hphantom{\nu}\sigma} \operatorname{d}x^\mu. \end{align} Nota cómo las bases de la transformación, en el sentido contrario a partir de los vectores. Es importante destacar que, esto implica que cada segundo término anterior es un infinitesimal generador de transformaciones en el correspondiente simetría del espacio, lo que significa que son, en general, anti-Hermitian en la apertura de sus índices. La covariante derivados de arriba son, obviamente, la generalización para traducir todo el vector de valores de la función, en contraposición a un único vector. La traducción por un número finito de distancia requiere la creación de una estructura que se llama Wilson Línea (ver Peskin Y Schoeder página 495 y alrededores) en no abelian medidor de teorías.

Todo eso dicho, aquí están los de la no-métodos de representación de las diferencias entre ordinario calibre de las teorías y de la gravedad:

1. la métrica de Yang-Mills teorías es constante,
2. el grupo espacio en el que la gravedad es tangente al espacio-tiempo del colector,
3. los grados de libertad de la gravedad incluyen diffeomorphisms el espacio-tiempo del colector, y
4. el Lagrangiano de la gravedad es lineal en la curvatura en lugar de la ecuación cuadrática.

La métrica de Yang-Mills teorías son normalmente ni siquiera se discute ya que generalmente es isomorfo a un constante métrica Euclidiana. Incluso el abelian de Yang-Mills teoría del electromagnetismo, tiene una métrica. La definición de la representación de la $U(1)$ grupo de, por ejemplo, es el de las transformaciones que preservan la norma de los números complejos, $\rho^2 = z^\star z$. La escritura de esta norma en términos de una métrica da a un vector $z = x + iy$ $2$- dimensiones del vector ($[z]^i$), y la métrica de los mapas que para el covector $z^\star = x - iy$ ($[z]_i$). Dada la mutliplication reglas de los números complejos, se asigna la métrica para una $2$-$d$ matriz de identidad, $g_{ij} = \delta_{ij}$.

El punto es: no se ha estudiado, por lo que yo sé, para un Yang-Mills teoría para tener una métrica que es una función del espacio-tiempo.

La gravedad también es especial para, en cierto sentido, el grupo de representating una transformación de la tangente a la multiplicidad. En otras palabras, es significativo que el grupo de índices (índices fuera de los corchetes de arriba) están en el mismo espacio que las simetrías en el colector, haciéndolos tangente al espacio de una manera que incluso un grupo que sólo es isomorfo a esas simetrías no lo es. Esto de alguna manera se relaciona con la idea de que la gravedad está ligado a diffeomorphisms del espacio-tiempo colector, sí, y es más que una medición de la $\operatorname{SL}(1,3)$ grupo.

Es por esta razón que se requiere que la conexión se "métrica compatible" en la gravedad. La adición de la torsión de condición libre, este mueve todos los grados de libertad de la conexión en la métrica. Esta es la razón por la que la de Newton potencial gravitatoria aparece allí.

Como consecuencia de todo lo anterior, la curvatura se convierte en cuadrática en la métrica, en lugar de lineal en la conexión. De importación particular, tiene dos derivados en lugar de uno. Esta es una de las grandes razones para utilizar un Lagrangiano que es lineal en la curvatura - hay sin resolver teórico dificultades con las teorías que tienen más de dos de los derivados en el Lagrangiano; esta revisión por Woodard (2007) tiene una buena visión general de las dificultades de esta relacionado con $f(R)$ teorías de gravitación.

Me gustaría poder hacer esto más claro con ejemplos, pero mi experiencia con Yang-Mills teorías es más profundo, y no he cristalizado mi forma de pensar sobre este tema, y lo que las implicaciones son.

Answer 3

Weinberg se analizan estas analogías un poco en el Vol. II de su QFT de la serie:

La analogía se rompe en un aspecto importante: en la relatividad general afín a la conexión en sí es construido a partir de la primera derivados del tensor métrico, mientras que en el calibre de las teorías del medidor de campos no están expresadas en términos de la más fundamental de los campos ... [pg. 7]

así que él parece ser el pensamiento de la conexión de Christoffel, no la métrica, como el medidor de campo, como la segunda analogía. Pero, a continuación, en la pg. 13, dice que $J_\mu$ es análoga a $T_{\mu \nu}$, como en la primera analogía.

Parece que, a diferencia de mi primera impresión, tanto de las analogías anteriores son realmente apenas analogías, y ni la correspondencia es particularmente difícil. Yang-Mills teoría y GR realmente son cualitativamente diferentes tipos de `calibre teorías", porque en el Yang-Mills teoría gauge invariante en el campo de fuerza del tensor $F_{\mu \nu}$ está formado a partir de la primera derivados de los ámbitos fundamentales, mientras que en el GR gauge invariante en el campo de fuerza del tensor $R_{\mu \nu \rho \sigma}$ está formado a partir de la segunda derivados de los ámbitos fundamentales. Por lo tanto, las analogías anteriores son útiles en diferentes contextos, pero lejos de ser perfecto.

Sin embargo, podemos hacer la segunda analogía más estrecha considerando los Palatini formalismo de GR, donde tratamos la métrica y la conexión como campos independientes y variar la acción con respecto a cada uno por separado. En virtud de este formalismo, el haz de fibras de conexión en sí misma es un campo fundamental, así como en el Yang-Mills teoría. (Pero todavía hay una gran diferencia entre las teorías, que es que las secciones del haz de fibras que aparecen explícitamente en GR $g_{\mu \nu}$, pero no en la clásica del electromagnetismo.)

Edit: El consenso general parece ser que este es el "mejor" método de la analogía, donde apuntando hacia abajo las flechas denotan derivados y hacia la derecha-que apuntan las flechas denotan tensor de contracciones:

Lo extraño de esta analogía es que las ecuaciones relacionadas con el "campo de fuerza tensor" a la "cuestión de la fuente de campo" son muy diferentes en los dos casos: el de Yang-Mills ecuación de movimiento $d(*F) = J$ es una dinámica diferencial de la ecuación, mientras que el análogo de la relatividad general de la ecuación de movimiento de la $R^\rho_{\ \, \mu \rho \nu} - \frac{1}{2} g^{\sigma \lambda} R^\rho_{\ \, \sigma \rho \lambda} g_{\mu \nu} \propto T_{\mu \nu}$ es sólo una expresión algebraica relación con los derivados. No estoy seguro de qué hacer con eso.