¿Puede una operación binaria tiene un elemento de identidad cuando no es asociativa y conmutativa?

Question

Traté de obtener las respuestas en preguntas similares, todo el mundo dice que no es necesario, pero si $e$ es el elemento de identidad para cualquier operación binaria $*$, que no es asociativa y conmutativa, cómo se puede

$$a*e=a=e*a$$

¿cuando no es conmutativa, es decir, $a*b \ne b*a$?

Incluso si tenemos un valor resolviendo $a*e=a$. ¿Obtendrá el mismo valor resolviendo $e*a=a$? Por favor proporcione un ejemplo.

Answer 1

Diciendo que la operación $*$ no es conmutativa significa que hay elementos $a$ $b$ tal que $a*b\neq b*a$. Lo hace no significa que $a*b\neq b*a$ para cualesquiera dos elementos distintos $a$$b$. Por lo tanto, una operación puede no ser conmutativa y, aun así, para tener un elemento de identidad. Aquí no hay contradicción.

Para un ejemplo de un no-conmutativa y no asociativo estructura algebraica con un elemento de identidad, tomar el octonions, por ejemplo.

Answer 2

Una operación es conmutativa si para cualquier $a$ y $b$, tenemos $ab=ba$. Encontrar un par $a,b$ tal que $ab=ba$ no prueba que la operación es conmutativa; Esto tiene que mantener para cada pareja.

Considerar el conjunto de $\{a,b,c\}$ cuya operación binaria $\cdot$ está dada por la siguiente: $$a\cdot a = a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a\cdot b=b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a\cdot c=c$ $ $$b\cdot a = b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, b\cdot b=b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\cdot c=c$ $ $$c\cdot a = c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, c\cdot b=b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c\cdot c=a$ $ esta operación tiene $a$ como un elemento de identidad. Sin embargo, no es conmutativa (ya que $b\cdot c\neq c\cdot b$) y no es asociativa (desde $b\cdot(c\cdot c)=b\neq a =(b\cdot c)\cdot c$).

Answer 3

En realidad, dado cualquier conjunto $S$% y funcionamiento $*$en él (así posiblemente asociativa ni conmutativa), podemos simplemente ampliar esto con un nuevo símbolo $\color{red}0$ (es decir, $\color{red}0\notin S$) y en el conjunto de $S':=S\cup\{\color{red}0\}$ definir una operación $\color{red}*$ por $$ x\color {rojo} * y: =\begin{cases}x&\text{if }y=\color{red}0\\ y&\text{if }x=\color{red}0\\x*y&\text{otherwise} \end{casos} $$ $\color{red}*$ no es conmutativa/asociativa si $*$ no es conmutativa/asociativa. Pero $\color{red}0$ es neutro.

Answer 4

Es posible. $*$ no ser conmutativa supone $a*b\neq b*a$ $a,b$, no para todos ellos. Así que usted puede tener $a*e=e*a=a$ sin contradecir que $*$ no es conmutativa.

Answer 5

Sin buscar ejemplos esotéricos o ad hoc, hay uno que está sin duda familiarizados con. La matriz identidad es el elemento identidad para la multiplicación de matrices no es conmutativa. Tenemos $A\,I=I\,A=A $ en general $A\,B \neq B\,A $.