Más concretamente, ¿el conjunto de los no diagonalizables (sobre $\mathbb C$ ) tienen medida de Lebesgue cero en $\mathbb R^{n\times n}$ o $\mathbb C^{n\times n}$ ?
Intuitivamente, yo pensaría que sí, ya que para que una matriz sea no diagonalizable su polinomio característico tendría que tener una raíz múltiple. Pero la mayoría de los polinomios mónicos de grado $n$ tienen raíces distintas. ¿Puede formalizarse este argumento?
Sí. Aquí hay una prueba sobre $\mathbb{C} $ .
Dejemos que $A$ sea una matriz real con un valor propio no real. Es bastante fácil ver que si se perturba $A$ un poco $A$ todavía tendrá un valor propio no real. Por ejemplo, si $A$ es una matriz de rotación (como en la respuesta de Georges), aplicando una versión perturbada de $A$ todavía se acercará a la rotación de los vectores en un ángulo fijo, por lo que esta versión perturbada no puede tener ningún valor propio real.
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Una matriz puede tener un polinomio característico con una raíz múltiple y seguir siendo diagonalizable (por ejemplo, la matriz identidad).
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Correcto, pero si el conjunto de matrices con valores propios repetidos tiene medida cero, entonces también lo tiene el conjunto de matrices no diagonalizables.
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Claro, tener un valor propio repetido es necesario para la no diagonalizabilidad. Sin embargo, sólo estaba señalando que no es suficiente.
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véase math.stackexchange.com/questions/207723/ y es.wikipedia.org/wiki/Discriminante
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Relacionado: mathoverflow.net/questions/12657/
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Hola OP, no estaría de más aceptar una respuesta a estas alturas.