$\lim_{x \to c} f-g=0\iff f \sim g$?

Question

Considera dos funciones $f$ $g$ ($g\neq 0$ cerca de un punto de $c$)

$$\lim_{x\to c} \frac{f}{g}=1 \iff f \sim g$$

Estoy tratando de entender si es cierto que

$$\lim_{x\to c} \frac{f}{g}=1 \iff \lim_{x \to c} f-g=0$$

He intentado de esta manera:

Para el $\implies$:

$$\lim_{x\to c} \frac{f-g}{g}=0 \implies f-g=o(g) \implies f-g=o(1)$$

Para el $\Leftarrow$:

$$\lim_{x \to c} f-g=0 \implies \lim_{x\to c} \frac{f-g}{g}=0 \implies \lim_{x\to c} \frac{f}{g}=1$$

Yo siento que hay algo mal con él, que me estoy perdiendo algo?

Muchas gracias por su ayuda

Answer 1

Si $f(x)=x$$g(x)=4x$$\lim\limits_{x\to0} (f(x)-g(x))=0$$\lim\limits_{x\to0} \dfrac{f(x)-g(x)}{g(x)} = -3 \ne 1$.

$\lim\limits_{x \to c} f-g=0 \implies \lim_{x\to c} \dfrac{f-g}{g}=0$ no si $g(x)\to 0$$x\to c$.

Answer 2

Si $f(x)=(\ln |x|)^2+\ln |x|$$g(x)=(\ln |x|)^2$,

a continuación, $$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(\ln |x|)^2+\ln |x|}{(\ln |x|)^2}=\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1+1/\ln |x|}{1} = 1$ $ y$$ \lim\limits_{x\to0} (f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to0} (\ln |x|)=-\infty\neq0.$$