Si $x-y = 5y^2 - 4x^2$, demuestran que, a $x-y$ es cuadrado perfecto

Question

En primer lugar, ¡feliz navidad!

Tengo atascado en un problema.

Si x, y son cero natural los números con $x>y$ tal que $$x-y = 5y^2 - 4x^2,$$ demostrar que $x - y$ es cuadrado perfecto.

Lo que he pensado hasta ahora: $$x - y = 4y^2 - 4x^2 + y^2$$ $$x - y = 4(y-x)(y+x) + y^2$$ $$x - y + 4(x-y)(x+y) = y^2$$ $$(x-y)(4x+4y+1) = y^2$$ Por lo $4x+4y+1$ es un divisor de a $y^2$.

Yo también tomar en cuenta que el $y^2$ modulo $4$ $0$ o $1$ (no sé si esto puede ayudar.)

Entonces, ¿cómo puedo demostrar que $4x+4y+1$ es un cuadrado perfecto (esto implicaría $x-y$ - un cuadrado perfecto)? Mientras, tomando ejemplos, no podía encontrar ningún cuadrado perfecto con un divisor que es $M_4 + 1$ y no es cuadrado perfecto.

Si hay algún error o de otra manera, por favor dígame.

Un poco de ayuda sería apreciada. Gracias!

Answer 1

Deje $z=x-y$. A continuación, $(x-5z)^2=z(20z+1)$ $z(20z+1)$ es un cuadrado perfecto. Desde $\gcd(z,20z+1)=1$ $z$ $20z+1$ deben ser cuadrados perfectos.

Answer 2

La generalización. Deje $a,b$ ser números enteros. Si existe enteros consecutivos, $c,d$ tal que $a-b=a^2c-b^2d$, $|a-b|$ es un cuadrado perfecto.

Prueba. Si $c=d+1$,$a-b=a^2(d+1)-b^2d=(a-b)(a+b)d+a^2$, por lo que $$a^2=(a-b)(1-d(a+b))$$ Now let $g=\text{mcd}(a-b,1-d(a+b))$. We have $g^2|a^2$, so $g|$. Now we have $g|b$, and we have $g|1$, so $g=1$.

Desde $a-b$ $1-d(a+b)$ son coprime y sus múltiples es un cuadrado perfecto, hemos terminado.

El caso de $c+1=d$ es tratado de la misma manera. $\blacksquare$.

Answer 3

Resolver,

$$x - y=5y^2 - 4x^2\tag1$$

por lo tanto,

$$x = \frac{-1\pm\sqrt{1+16y+80y^2}}{8}$$

Vamos,

$$1+16y+80y^2 = \big(\tfrac{2p}{q}y-1\big)^2$$

Ampliar y factor conseguir,

$$y = \frac{pq+4q^2}{p^2-20q^2}$$

con el correspondiente $x$,

$$x = \frac{pq+5q^2}{p^2-20q^2}$$

y $x,y$ será enteros si $p,q$ satisfacer la ecuación de Pell,

$$p^2-20q^2 = 1$$

Entonces, uno puede ver que $x>y$ y,

$$x-y = \frac{q^2}{p^2-20q^2}=q^2$$

El primer par de $p,q$,

$$9, 2 \\161, 36 \\ 2889, 646$$

y estas rendimiento $x,y$,

$$38, 34 \\ 12276, 10980 \\ 3952874, 3535558$$

y así sucesivamente, de conformidad con el numérico de la búsqueda realizada en los comentarios.