Subespacio de metrizable y separable espacio es divisible

Question

Necesito mostrar (usando el hecho de que para metrizable espacio: el espacio es divisible $\iff$ tiene una contables de base) que si $X$ es metrizable y separables, entonces cada subespacio $Y \subset X $ es separable.

Mi idea:

Si $X$ es separable (y es metrizable), a continuación, $X$ tiene una contables de la base. Vamos a llamar a $\mathcal{B}$. Deje $U=\bigcup_{i \in I} Bi$ tal que $B_i \in \mathcal{B}$. Por lo $U$ está abierto en $X$. A continuación, $U\cap Y$ está abierto en $Y$. Por lo $U \cap Y=\bigcup_{i \in I} Bi \cap Y$ tal que $B_i \in \mathcal{B}$. Así que quiero decir que $\mathcal{C}=\{B \cap Y: B\in\mathcal{B}\}$ es la base de la $Y$. Y robaba $\mathcal{B}$ es contable, entonces $\mathcal{C}$ también es contable. A continuación, $Y$ es también separable.

Es correcta la prueba (si no ¿cómo puedo mejorar)? ¿Cómo debo mostrar que $\mathcal{C}$ es realmente una base?

Answer 1

Su argumento es básicamente correcto. Usted puede decir que es un poco más claramente reordenando un poco:

Si $X$ es separable y metrizable, entonces $X$ tiene una contables base de la $\mathscr{B}$. Deje $\mathscr{B}_Y=\{B\cap Y:B\in\mathscr{B}\}$; claramente $\mathscr{B}_Y$ es contable. Deje $U$ ser un conjunto abierto en $Y$. Entonces existe un conjunto abierto $V$ $X$ tal que $U=V\cap Y$. $\mathscr{B}$ es una base para $X$, por lo que hay algunos $\mathscr{U}\subseteq\mathscr{B}$ tal que $V=\bigcup\mathscr{U}$. Entonces $$U=V\cap Y=\left(\bigcup\mathscr{U}\right)\cap Y=\bigcup\{B\cap Y:B\in\mathscr{U}\}$$ is a union of elements of $\mathscr{B}_Y$, so $\mathscr{B}_Y$ is a base for $S$. $$ Y por lo tanto es segundo contable y, por tanto, separable.