Me encontré esto en un papel y me preguntaba si es cierto. Tenemos una matriz compleja $M$ tal que $(M+M^H)$ es positiva definida. Ahora bien, es claro que $(M+M^H)$ es invertible, pero hace que mantener para $M$? Es allí (en general) algunas conexiones entre el hermetian parte de una matriz y la hermetian parte de su inversa? Gracias chicos!
Respuestas
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M Turgeon
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De hecho, se puede demostrar que los $\mathrm{Re}(z^*Mz) > 0$ por cada no-cero vector complejo $z$. En efecto, supongamos que usted puede encontrar un $z$ para que no: $$\mathrm{Re}(z^*Mz) \leq 0.$$ Entonces usted tiene \begin{align*} \mathrm{Re}(z^*M^*z) &= \mathrm{Re}((z^*Mz)^*)\\ &= \mathrm{Re}(z^*Mz)\\ &\leq 0. \end{align*} Sin embargo, a continuación, obtener $$\mathrm{Re}(z^*(M + M^*)z) \leq 0, $$ lo que se contradice con el positivo de la definición de la Hermitian parte.
Leon Katsnelson
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\begin{eqnarray} \langle x , (M+M^*) x \rangle &=& \langle x , M x \rangle + \langle x , M^* x \rangle \\ &=& \langle x , M x \rangle + \overline{\langle M^* x , x \rangle} \\ &=& \langle x , M x \rangle + \overline{\langle x , M x \rangle} \\ &=& 2 \operatorname{re} \langle x , M x \rangle \end{eqnarray} En particular, $\langle x , M x \rangle \neq 0 $ todos los $x \neq 0$.
orangeskid
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La implicación $\mathcal{Re}M \succ 0 \implies \mathcal{Re}M^{-1} \succ 0$ apareció antes en el sitio, así se podría repetir el argumento.
En primer lugar, si $v$ es un autovector de a $M$ para el autovalor $\lambda$ $v$ es un autovector de a $\mathcal{Re}M$ para el autovalor $\mathcal{Re}\lambda$.
A continuación, si $\mathcal{Re}M\succ 0$, a continuación, todos los autovalores de a $M$ tienen parte real $>0$ ( de los anteriores). En particular, todos son cero, por lo $M$ es invertible.
Ahora, $\mathcal{Re}M \succ 0$ es equivalente a $\langle M v, v \rangle +\langle v, M v \rangle > 0$ para cualquier vector distinto de cero $v$. Sabemos que $M$ es invertible. Enchufe en la ecuación anterior $v\colon = M^{-1} w$ y obtener $\langle w, M^{-1}w \rangle +\langle M^{-1}w, w \rangle > 0$ para cualquier vector distinto de cero $w$. Por lo tanto, $\mathcal{Re}M^{-1}\succ 0$
