Definición de componentes irreducibles en espacios topológicos

Question

En primer lugar la definición de la irreductibilidad:

• Un espacio topológico $X$ se llama reducible si $X$ puede ser escrito como una unión de los dos no está vacío y cerrado adecuada subconjuntos de a $X$. Llamamos a $X$ irreducible si no es reducible.
• Un subconjunto $F$ $X$ se llama reducible resp. irreducible si se tiene esta propiedad en su topología de subespacio.

Ahora en la Wikipedia he encontrado la siguiente definición de componente irreducible:

• Una componente irreducible de un espacio topológico es una máxima subconjunto irreducible.

Mi pregunta: ¿Qué queremos decir con la máxima aquí? Pensé que si un subconjunto es irreductible, es automáticamente máxima porque no nos podemos dividirlo en dos pequeños conjuntos cerrados. Puede alguien explicar lo que está mal con mi pensamiento? Sería genial si alguien me podría dar un ejemplo específico (por ejemplo, de la topología de Zariski).

También tengo ni idea de por qué irreductible componentes también están cerrados, pero espero que me de a entender que si pude resolver mi problema anterior.

Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $X$ $\mathbb{N}$ en el cofinite la topología, que tiene como único conjuntos cerrados los conjuntos finitos e $X$ sí. Este es hereditaria: si $A \subseteq X$, su topología de subespacio es también cofinite.

Cualquier infinita cofinite espacio de $X$ es irreductible (sólo podemos escribir como $A \cup B$ cerrados y no todo el espacio iff $A$$ B$, y por lo tanto $X$ es finito.

Así que los números en $X$ son irreductibles, pero no al máximo, de manera que (como $X$ es más grande y también irreductible):

$A$ es una componente irreducible de $X$ fib $A$ es irreductible, y para cada $A \subseteq B \subseteq X$: si $B$ es irreductible, a continuación,$A = B$.

Answer 2

Es probablemente el caso de que $F \subset X$ es un máximo de un conjunto irreducible si es irreductible, y la siguiente consecuencia se tiene: $$F \subset A \text{ and } A \text{ is irreducible} \implies F = A$$

Ejemplo: considere el $X = \{0,1\}$ con la topología discreta. El conjunto $\{1\}$ es una componente irreducible.

Deje $F$ ser una componente irreducible. Vamos a demostrar que $\overline F$ es irreductible. Supongo que no y escribir $\overline F = A \cup B$ donde $A$ $B$ son propias de los subconjuntos cerrados de $\overline F$. Tenemos $A = A' \cap \overline F$ $B = B' \cap \overline F$ donde $A'$ $B'$ están cerrados en $X$. Deje $A'' = A' \cap F$$B'' = B' \cap F$. Tenemos que $A''$ $B''$ están cerrados en $F$ y el: $$A'' \cup B'' = (A' \cup B') \cap F = (A' \cup B') \cap \overline F \cap F = [(A' \cap \overline F) \cup (B' \cap \overline F)] \cap F = (A \cup B) \cap F = \overline F \cap F = F$$

También tenga en cuenta que si $A'' = F$,$F \subset A'$, por lo tanto $\overline F \subset \overline A' = A'$, lo $A = \overline F$, una contradicción. Del mismo modo, conseguimos que los $A''$ $B''$ son propias de los subconjuntos de a $F$. También es evidente que son no vacíos. Por lo tanto, $F$ es reducible, una contradicción. Por lo tanto, $\overline F$ es irreductible, y por eso, $F = \overline F$, lo $F$ es cerrado.

Answer 3

Para comprobar si un subconjunto $F \subseteq X$ es irreductible, es considerado como su propio topológica del espacio a través de la inducción de la topología. Así que aislar el conjunto de $F$, darle la topología inducida por (olvidando de un montón de cosas acerca de $X$!), y comprobar si el nuevo espacio es irreductible. Pero podría ser el caso que, si bien $F$ considera como un espacio es irreductible, $F \cup G$ también es irreductible por algún otro subconjunto $G \subseteq X$.

Como ejemplo, tome el conjunto $X = \{0, \ldots, n\}$ con el grueso de la topología donde la única conjuntos cerrados se $\emptyset$$X$. Aquí cualquier subconjunto $F \subseteq X$ va a ser de grano grueso, de nuevo, y, por tanto, irreductible, y así una máxima tal subconjunto es $X$. Usted puede hacer un ejemplo similar utilizando la topología de Zariski: círculo de parte de una irreductible de la curva en una página: atada fragmento debe ser irreductible como un espacio topológico, pero ciertamente no es maximal.