Sobre la demostración de que la Hipótesis del Continuo es independiente de la ZFC

Question

En Lógica Matemática, se nos introdujo el concepto de forzamiento utilizando modelos transitivos contables -ctm- de $\mathsf{ZFC}$ . Utilizando dos nociones diferentes de forzamiento pudimos construir (a partir de la existencia de un ctm "básico") dos ctm diferentes, donde uno de ellos verifica la hipótesis del continuo ( $\mathsf{CH}$ ), y el otro verifica su negación.

Mi pregunta es la siguiente. ¿Prueba esto que $\mathsf{CH}$ es independiente de $\mathsf{ZFC}$ ? Me parece que lo único que esto demuestra es: "Si hay es un ctm de $\mathsf{ZFC}$ entonces $\mathsf{CH}$ es independiente de $\mathsf{ZFC}$ ". Y, bueno, no podemos probar en $\mathsf{ZFC}$ que hay un ctm de $\mathsf{ZFC}$ ya que eso implicaría que $\mathsf{ZFC}$ ¡demuestra su propia consistencia!

¿Qué me estoy perdiendo aquí? ¿Es suficiente para asegurar la existencia de un ctm en algún "universo" diferente de $\mathsf{ZFC}$ ? ¿Tiene esto algún sentido?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, tienes razón. Sin embargo, hay dos maneras de evitarlo.

1. Podemos utilizar modelos con valores booleanos. Son clases definibles, y podemos demostrar que para una declaración $\varphi$ si existe un álgebra booleana completa $B$ tal que en el modelo de valores booleanos $V^B$ el valor de verdad de $\varphi$ no es $1_B$ entonces $\varphi$ no es demostrable a partir de $\sf ZFC$ .

   Entonces podemos encontrar tal $B$ para los que la hipótesis del continuo no alcanza el valor $1_B$ .

2. Podemos argumentar que cualquier fragmento finito de $\sf ZFC$ tiene un modelo transitivo contable. Si $\sf CH$ era demostrable entonces era demostrable a partir de algún fragmento finito de $\sf ZFC$ . Si a ese fragmento se le añaden los axiomas necesarios para desarrollar los fundamentos de forzamiento necesarios para la prueba, esta teoría es una subteoría finita que tiene un modelo transitivo contable, sobre el cual podemos forzar y demostrar que la subteoría finita se conserva. Sin embargo $\sf CH$ es falso allí. Así que cada fragmento finito de $\sf ZFC\cup\{\lnot CH\}$ es consistente, por lo tanto $\sf ZFC\cup\{\lnot CH\}$ es consistente.

Answer 2

Como señala Asaf, aún podemos obtener los resultados de consistencia relativa que deseamos sin "salir" de ZFC. Pero creo que vale la pena señalar que hay extensiones naturales de ZFC en las que la existencia de ctm's de ZFC son demostrables, y por lo tanto en las que podemos llevar a cabo argumentos de forzamiento tal cual.

Una extensión natural surge de añadir a ZFC un predicado de satisfacción $Sat(x, y)$ con las cláusulas tarkianas habituales para las conectivas y los cuantificadores. Por ejemplo, añadiríamos

(&) $Sat(\phi\wedge\psi, a) \leftrightarrow Sat(\phi, a) \wedge Sat(\psi, a)$

donde $a$ es una función de asignación.

Una vez que tenemos $Sat(x, y)$ en nuestro lenguaje, es natural extender el esquema de sustitución a las fórmulas que lo involucran. En la teoría resultante podemos demostrar que existen fórmulas cerradas y no limitadas $\alpha$ tal que $V_\alpha$ es una subestructura elemental de $V$ . Cada uno de estos $V_\alpha$ modela ZFC, y entonces es sencillo obtener nuestros ctm usando un argumento de casco de Skolem en cualquiera de ellos seguido del lema de colapso de Mostowski.