Cálculo de factores invariantes a partir de la forma normal de Smith

Question

El objetivo es encontrar la forma canónica de Jordan de la matriz

$$A=\begin{bmatrix}2&1&1&2\\0&2&0&1\\0&0&2&-1\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$

Como la matriz ya es triangular superior, es obvio que los valores propios son 2 y 1, donde 1 tiene multiplicidad geométrica y algebraica 1, por lo que podría encontrar fácilmente la JCF calculando $\operatorname{rank}{(A-2I)^{i}}$ para cada $i$ . Sin embargo, se me ocurrió intentar hacerlo calculando los factores invariantes encontrando la forma normal de Smith de la matriz característica $xI-A$ . El problema es que utilizando operaciones elementales de filas y columnas, sólo parece que puedo obtener la matriz

$$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&(x-2)^2&0\\0&0&0&(x-1)(x-2)\end{bmatrix}$$

Mis preguntas son:

1. Aunque esta matriz no está en la forma normal de Smith, ¿es válido concluir que los divisores elementales son las potencias de los factores irreducibles que aparecen en cada entrada diagonal, es decir $(x-1)$ , $(x-2)^2$ y $(x-2)$ ? Resulta que es cierto para este $A$ Pero, ¿siempre será cierto?
2. ¿Cómo puedo convertir la matriz anterior en la forma normal de Smith?

Answer 1

Responderé primero a su segunda pregunta.

Dejemos que

$$P(x) = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&(x-2)^2&0\\0&0&0&(x-1)(x-2)\end{bmatrix}.$$

Tenemos que arreglar la parte inferior derecha $2 \times 2$ submatriz principal. He explicado cómo hacerlo aquí Así que me limitaré a presentar los resultados aquí:

\begin {align*} \begin {bmatrix}1&0&0&0 \\0 &1&0&0 \\0 &0&(x-2)^2&0 \\0 &0&0&(x-1)(x-2) \end {bmatrix} & \mapsto \begin {bmatrix}1&0&0&0 \\0 &1&0&0 \\0 &0&(x-2)^2&(x-1)(x-2) \\0 &0&0&(x-1)(x-2) \end {bmatrix} \\ & \mapsto \begin {bmatrix}1&0&0&0 \\0 &1&0&0 \\0 &0&(x-2)^2&(x-2)^2+(x-2) \\0 &0&0&(x-1)(x-2) \end {bmatrix} \\ & \mapsto \begin {bmatrix}1&0&0&0 \\0 &1&0&0 \\0 &0&(x-2)^2&x-2 \\0 &0&0&(x-1)(x-2) \end {bmatrix} \\ & \mapsto \begin {bmatrix}1&0&0&0 \\0 &1&0&0 \\0 &0&x-2&(x-2)^2 \\0 &0&(x-1)(x-2)&0 \end {bmatrix} \\ & \mapsto \begin {bmatrix}1&0&0&0 \\0 &1&0&0 \\0 &0&x-2&0 \\0 &0&(x-1)(x-2)&-(x-1)(x-2)^2 \end {bmatrix} \\ & \mapsto \begin {bmatrix}1&0&0&0 \\0 &1&0&0 \\0 &0&x-2&0 \\0 &0&0&-(x-1)(x-2)^2 \end {bmatrix} \\ & \mapsto \begin {bmatrix}1&0&0&0 \\0 &1&0&0 \\0 &0&x-2&0 \\0 &0&0&(x-1)(x-2)^2 \end {bmatrix} \end {align*}

Los factores irreductibles son $x-2$ y $x-1$ mientras que los divisores elementales son $x-2$ , $(x-2)^2$ y $x-1$ .

Creo, pero no estoy seguro, que lo que sugieres en tu primera pregunta se puede hacer siempre para obtener el resultado correcto. Habría que probarlo para utilizarlo realmente. Personalmente, me parece más fácil simplemente reducir adecuadamente el polinomio de la matriz o arreglarlo para que se convierta en la forma normal de Smith, como hice arriba.

Answer 2

Buena respuesta. Por supuesto, no es necesario ir a todo este trabajo para ver cuál es la respuesta, ya que el resultado obtenido ya es suficiente para obtener los divisores elementales, a saber, (x-1), (x-2), (x-2)^2. Entonces, sólo hay una manera de ordenarlos para que los productos relativamente primos se dividan sucesivamente.

Oh, ya veo, esta era la pregunta nº 1, a la que la respuesta es sí. A saber, cualquier descomposición en factores de potencia primos cíclicos es única y, por tanto, debe dar los divisores elementales, a partir de los cuales se obtienen los factores invariantes.