Pregunta geométrica sólo por diversión

Question

Estaba haciendo un rompecabezas con el siguiente rompecabezas (hecho en casa):

Dado el cuadrado $ABCD$ con $A = (1,1)$ , $B = (1,-1)$ , $C = (-1,-1)$ y $D = (-1,1)$

Y dado el punto $E = (0,2)$

¿Cuál es el cuadrilátero más pequeño (por área) $EFGH$ que contiene el cuadrado $ABCD$ ?

Lo siento, sólo he creado este rompecabezas, no sé la respuesta a mí mismo, pero tal vez le gustaría un rompecabezas

Answer 1

Aquí hay un boceto que demuestra que la respuesta es 7. He trabajado en los detalles, aunque puede que me haya equivocado.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que las cuatro aristas del cuadrilátero deben pasar por los cuatro vértices del cuadrado. Por lo tanto, sabemos la dirección de las líneas $EF$ y $EH$ . De hecho, sólo nos queda elegir la posición de $G$ .

Supongamos que $G$ está en $(x,y)$ . Sabemos que $x\in[-1,1]$ y $y\leq -1$ . Utilizando las fórmulas básicas de los ángulos y la trigonometría, encuentra el área del cuadrilátero en términos de $x$ y $y$ .

Fijar $y<-1$ y hacer una diferenciación parcial con respecto a $x$ . Como todo es simétrico, debe haber un punto de inflexión en $x=0$ . De hecho, este es el único punto de inflexión para $x\in[-1,1]$ y es un máximo. Por lo tanto, el mínimo se produce en $x\in\{\pm 1\}$ .

Ahora podemos arreglar $x=1$ y sólo varían $y$ . El área del cuadrilátero es entonces menor cuando $y$ está más cerca de $-1$ .