Número de puntos de 3 torsiones en una curva elíptica

Question

Si tomamos nuestra curva elíptica sobre $K$ para ser el conjunto cero de $$ F(X_1, X_2, X_3) = X_2^2 X_3 - (X_1^3 + AX_1X_3^2 + BX_3^3), $$ que está en forma proyectiva con $X = X_1, Y = X_2, Z=X_3$ entonces he podido demostrar que para cualquier punto $P$ en la curva, si $3P = \mathbf{o}$ entonces la matriz hessiana $$ \bigg(\frac{\partial F}{\partial X_i \partial X_j}\bigg) $$ tiene un determinante $0$ en $P$ .

A continuación se me pide que en este ejercicio demuestre que hay a lo sumo nueve puntos de 3 torsiones sobre $K$ . ¿Es una deducción obvia? Me temo que no veo cómo hacerlo.

Answer 1

Para demostrar esto voy a apelar a algunos resultados de la geometría algebraica. Tenemos que $P$ es un simple punto en $F$ si y sólo si $\mathcal{O}_P(F)$ el anillo local de $F$ en $P$ es un anillo de valoración discreto (véase Teorema de Fulton 1 sección 3.2 . Un simple punto $P$ en $F$ se llama flexión ordinaria si $ord_p^F(L) = 3$ donde $L$ es la línea tangente a $F$ en $P$ .

Por un teorema de la sección 5.3 (de nuevo, véase Fulton), $I(P, H \cap F) = 1$ si y sólo si $P$ es un flexo ordinario. Como una curva elíptica es no singular, todos sus puntos son simples. Como buscamos el número de $3$ -puntos de torsión, son exactamente los puntos de flexión ordinarios. Por el teorema de Bezout tenemos que, como el hessiano es un polinomio cúbico y las curvas elípticas tienen grado $3$ , $$ \sum_P I(P, H \cap F) = 9 $$ así que $F$ tiene como máximo nueve flexiones ordinarias.