Esto me ha estado molestando desde hace algún tiempo. Sé que en algunos casos que la uno mismo-intersección de divisores y de que grado son los mismos. Como hyerplanes en el espacio proyectivo. He leído a veces que ciertos grados realmente se definen como la uno mismo-intersección.
¿Esto es siempre el caso, uno mismo-intersección y grado básicamente son lo mismo? Y ¿cómo se relacionan?
¡Gracias de antemano!
La respuesta es que la auto-intersección de un divisor $D$ en la superficie lisa $S$ y el grado del divisor no están relacionados. Aquí es por qué:
La auto-intersección de el divisor es intrínsecamente definido: es un cierto número de $D\cdot D\in \mathbb Z$, dependiendo únicamente de la $S$$D$.
En contraste, el grado de $D$ es definido sólo después de que usted ha incorporado $S$ en algunos proyectiva del espacio $\mathbb P^n$.
Por artificialmente la incrustación $S$ en grandes espacios proyectivos (digamos, una Veronese mapa) usted puede obtener de forma arbitraria, grandes grados de $D$ , pero el auto intersección $D\cdot D$ no va a cambiar ni un ápice.
Y, como Mariano sabiamente observa, la auto-intersección de una efectiva divisor puede ser $\lt 0$, mientras que su título será $\gt0$ para cualquier incrustación $S\hookrightarrow P^n$ .
Advertencia
Sólo lo mencioné divisores en las curvas.
También se puede definir la auto-intersecciones de divisores en las dimensiones superiores variedades ; sin embargo ya no van a ser números, pero los elementos de un anillo de Chow.
Yo creo saber lo que Mike quería preguntar. Creo que la pregunta era: Vamos a $D \subset X$ ser un divisor, y embed $X$ a $\mathbb{P}(H^0(X, \mathcal{O}(D))^{\vee})$ por la construcción estándar.
Es el grado de $X$ dentro de este espacio proyectivo igual a la auto-intersección $D^d$?
Esto es lo que siempre he entendido la frase "el grado de $D$", sin más contexto, para significar.
Como Georges señala, otra interpretación razonable es que ya tenemos algunos de incrustación $\phi: X \to \mathbb{P}^N$ y nos preguntamos por el grado de $\phi(D)$; que no tiene ninguna relación con el auto de intersección de $D$.
Ahora, incluso con la interpretación anterior, se requiere de algunas advertencias. Un arbitrario divisor $D$ no puede dar una incrustación de objetos al espacio proyectivo. (De hecho, para un arbitrario $D$, $H^0(X, \mathcal{O}(D))$ puede ser cero.) Pero, si $X$ hace incrustar en $\mathbb{P}(H^0(X, \mathcal{O}(D))^{\vee})$ (es decir, si $D$ es muy amplio), la respuesta es sí. Correctamente formulado, podría debilitar "muy amplio" a "amplio", o, tal vez, uno de los más débiles adjetivos como "grande" o "nef", pero sólo se adhieren a los muy amplio de casos, donde no es, literalmente, una incrustación.
Prueba: Supongamos $d= \dim X$. El grado de $X$ $\mathbb{P}(H^0(X, \mathcal{O}(D))^{\vee})$ es la intersección de a $X$ $d$ genérico hyperplanes; $X \cap H_1 \cap H_2 \cap \cdots \cap H_d$. Cada uno de los hyperplanes tira de nuevo a un divisor en $X$ que es linealmente equivalente a $D$. Por lo $X \cap \bigcap H_i = \bigcap (X \cap H_i)$, y el último tiene el tamaño de $D^d$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
