Declaración del principio de delimitación uniforme

Question

Consideremos el principio de acotación uniforme:

UBP . Sea $E$ y $F$ sean dos espacios de Banach y que $(T_i)_{i \in I}$ sea una familia (no necesariamente contable) de operadores lineales continuos de $E$ en $F$ . Supongamos que $\sup_{i \in I} \|T_ix \| < \infty$ para todos $x \in E$ . Entonces $\sup_{i \in I} \|T_i\|_{\mathcal{L}(E,F)} < \infty$ .

No entiendo la declaración del UBP. El supuesto nos dice que, fijado un elemento $u$ seguramente encontraremos un $\|T_ku\|< \infty$ (en particular, para ese fijo $u$ entre sí $T$ se limita en $u$ también). La conclusión nos dice que el sup sobre el $i$ del conjunto $$ \biggl\{ \sup_{\|x\|\leq 1} \|Tx\| \biggr\} $$ es limitado . ¿Pero no está claro en el supuesto? Es decir, si cada $T$ está acotado, a fortiori la conclusión debe sostenerse... por favor, explíqueme en qué me equivoco.

Answer 1

Para ilustrar el punto que Davide ha explicado en su respuesta, veamos un ejemplo concreto.

Tomemos $E=$ el conjunto de todas las secuencias reales con soporte finito (es decir, sólo un número finito de términos es distinto de cero). Utilicemos la norma $\|x\|=\sup_n |x_n|$ . El espacio $E$ es un espacio lineal normado, pero no es un espacio de Banach. (Así que no se cumplen los supuestos del teorema de Banach-Steinhaus).

Tomemos $F=\mathbb R$ y $T_n(x)=\sum_{k=1}^n x_k$ .

Por cada $x\in E$ tenemos $|T_n(x)| \le \sum_{k=1}^n |x_k|$ que es un número finito. Así que $\sup_n |T_n(x)|<+\infty$ para cualquier $x\in E$ .

Pero si tomamos $x_n=(\underset{\text{$ n $-times}}{\underbrace{1,\dots,1,}}0,0,\dots)$ entonces $T_n(x_n)=n$ y $\|x_n\|\le 1$ . Así que vemos que $T_n(x)$ no está acotado en la bola unitaria, es decir $$\sup_{\|x\|\le 1, n\in\mathbb{N}} T_n(x)=+\infty.$$

Answer 2

El problema es que $\sup_{i\in I}\lVert T_ix\rVert=:c(x)$ dependen de $x$ . El hecho de que esté delimitado de cada $x$ de la bola unitaria no implica que pueda ser acotado uniformemente en la bola unitaria (si no, deduciríamos que cada mapa lineal es continuo).

Así pues, el objetivo del UBP es, como su nombre indica, mostrar $\sup_{\lVert x\rVert=1}c(x)$ es finito.